Analysis Beispiele

$f (t) = t^{- 4} \sin (t)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{- 4}$ und $g (t) = \sin (t)$ .

$t^{- 4} \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \sin (t) \frac{d}{d t} [t^{- 4}]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sin (t)$ nach $t$ ist $\cos (t)$ .

$t^{- 4} \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [t^{- 4}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$t^{- 4} \cos (t) + \sin (t) (- 4 t^{- 5})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t^{- 4} \cos (t) + \sin (t) (- 4 \frac{1}{t^{5}})$

Schritt 4.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{t^{5}}$ .

$t^{- 4} \cos (t) + \sin (t) \frac{- 4}{t^{5}}$

Schritt 4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t^{- 4} \cos (t) + \sin (t) (- \frac{4}{t^{5}})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $\sin (t)$ und $\frac{4}{t^{5}}$ .

$t^{- 4} \cos (t) - \frac{\sin (t) \cdot 4}{t^{5}}$

Schritt 5.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sin (t)$ .

$t^{- 4} \cos (t) - \frac{4 \sin (t)}{t^{5}}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{t^{4}} \cos (t) - \frac{4 \sin (t)}{t^{5}}$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{1}{t^{4}}$ und $\cos (t)$ .

$\frac{\cos (t)}{t^{4}} - \frac{4 \sin (t)}{t^{5}}$