Analysis Beispiele

$f (x) = (3 x - 5) (\sqrt{x} + 3)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 3 x - 5$ und $g (x) = \sqrt{x} + 3$ .

$(3 x - 5) \frac{d}{d x} [\sqrt{x} + 3] + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x - 5) (\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$(3 x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [3]) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$(3 x - 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 5.2.2

Addiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

Schritt 6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 7

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 7.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 8.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) (3 + 0)$

Schritt 8.2

Addiere $3$ und $0$ .

$(3 x - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) \cdot 3$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (\sqrt{x} + 3) \cdot 3$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Schritt 9.3

Vereine die Terme

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Schritt 9.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Schritt 9.3.2

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Schritt 9.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{3 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Schritt 9.3.4

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Schritt 9.3.5

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 9.3.5.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Schritt 9.3.5.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 9.3.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Schritt 9.3.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Schritt 9.3.5.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Schritt 9.3.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Schritt 9.3.5.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Schritt 9.3.6

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Schritt 9.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x} \cdot 3 + 3 \cdot 3$

Schritt 9.3.8

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{x}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot \sqrt{x} + 3 \cdot 3$

Schritt 9.3.9

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{x} + 9$

Schritt 9.4

Stelle die Terme um.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 9 - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{x}$