Analysis Beispiele

$\frac{d}{d t} (t^{2} + 1) (t + 9)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{2} + 1$ und $g (t) = t + 9$ .

$(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t + 9] + (t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 9$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]$ .

$(t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [9]) + (t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(t^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d t} [9]) + (t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Schritt 2.3

Da $9$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(t^{2} + 1) (1 + 0) + (t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Schritt 2.4

Addiere $1$ und $0$ .

$(t^{2} + 1) \cdot 1 + (t + 9) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$(t^{2} + 1) \cdot 1 + (t + 9) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(t^{2} + 1) \cdot 1 + (t + 9) (2 t + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 2.7

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(t^{2} + 1) \cdot 1 + (t + 9) (2 t + 0)$

Schritt 2.8

Addiere $2 t$ und $0$ .

$(t^{2} + 1) \cdot 1 + (t + 9) (2 t)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$t^{2} \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (t + 9) (2 t)$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$t^{2} \cdot 1 + 1 \cdot 1 + t (2 t) + 9 (2 t)$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $t^{2}$ mit $1$ .

$t^{2} + 1 \cdot 1 + t (2 t) + 9 (2 t)$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$t^{2} + 1 + t (2 t) + 9 (2 t)$

Schritt 3.3.3

Potenziere $t$ mit $1$ .

$t^{2} + 1 + 2 (t^{1} t) + 9 (2 t)$

Schritt 3.3.4

Potenziere $t$ mit $1$ .

$t^{2} + 1 + 2 (t^{1} t^{1}) + 9 (2 t)$

Schritt 3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$t^{2} + 1 + 2 t^{1 + 1} + 9 (2 t)$

Schritt 3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$t^{2} + 1 + 2 t^{2} + 9 (2 t)$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$t^{2} + 1 + 2 t^{2} + 18 t$

Schritt 3.3.8

Addiere $t^{2}$ und $2 t^{2}$ .

$3 t^{2} + 1 + 18 t$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$3 t^{2} + 18 t + 1$