Analysis Beispiele

$\frac{e^{x}}{x^{n}}$

Schritt 1

Diese Ableitung konnte mithilfe der Produktregel nicht vervollständigt werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{n}$ .

$\frac{x^{n} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{n}]}{{(x^{n})}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{n})}^{2}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{n} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{n}]}{x^{n \cdot 2}}$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $n$ .

$\frac{x^{n} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{n}]}{x^{2 n}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x^{n} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{n}]}{x^{2 n}}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = n$ .

$\frac{x^{n} e^{x} - e^{x} (n x^{n - 1})}{x^{2 n}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Stelle die Faktoren in $x^{n} e^{x} - e^{x} (n x^{n - 1})$ um.

$\frac{x^{n} e^{x} - n e^{x} x^{n - 1}}{x^{2 n}}$

Schritt 6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x^{n} - e^{x} x^{n - 1} n}{x^{2 n}}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x^{n} - e^{x} x^{n - 1} n$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x^{n}$ heraus.

$\frac{e^{x} (x^{n}) - e^{x} x^{n - 1} n}{x^{2 n}}$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} x^{n - 1} n$ heraus.

$\frac{e^{x} (x^{n}) + e^{x} (- x^{n - 1} n)}{x^{2 n}}$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (x^{n}) + e^{x} (- x^{n - 1} n)$ heraus.

$\frac{e^{x} (x^{n} - x^{n - 1} n)}{x^{2 n}}$

Schritt 6.4

Stelle die Faktoren in $\frac{e^{x} (x^{n} - x^{n - 1} n)}{x^{2 n}}$ um.

$\frac{e^{x} (x^{n} - n x^{n - 1})}{x^{2 n}}$