Analysis Beispiele

$x^{2} (3 x^{3} - 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3 x^{3} - 1$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 1] + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{2} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x^{2} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (9 x^{2} + 0) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.2

Addiere $9 x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} (9 x^{2}) + (3 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (9 x^{2}) + (3 x^{3} - 1) (2 x)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} (9 x^{2}) + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} \cdot 9 + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2 + 2} \cdot 9 + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Schritt 5.2.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{4} \cdot 9 + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Schritt 5.2.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$9 \cdot x^{4} + 3 x^{3} (2 x) - 1 (2 x)$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$9 x^{4} + 6 x^{3} x - 1 (2 x)$

Schritt 5.2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$9 x^{4} + 6 (x^{1} x^{3}) - 1 (2 x)$

Schritt 5.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$9 x^{4} + 6 x^{1 + 3} - 1 (2 x)$

Schritt 5.2.6

Addiere $1$ und $3$ .

$9 x^{4} + 6 x^{4} - 1 (2 x)$

Schritt 5.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$9 x^{4} + 6 x^{4} - 2 x$

Schritt 5.2.8

Addiere $9 x^{4}$ und $6 x^{4}$ .

$15 x^{4} - 2 x$