Analysis Beispiele

$\frac{x^{2} + 8 x y - 20 y^{2}}{x + 3 y} \div \frac{3 x + 30 y}{x - y}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} + 8 x y - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 1 \cdot - 20 = - 20$ und deren Summe gleich $b = 8$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{x^{2} - 20 y^{2} + 8 x y}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Schritt 2.1.2

Stelle $- 20 y^{2}$ und $8 x y$ um.

$\frac{x^{2} + 8 x y - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $8$ aus $8 x y$ heraus.

$\frac{x^{2} + 8 (x y) - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Schritt 2.1.4

Schreibe $8$ um als $- 2$ plus $10$

$\frac{x^{2} + (- 2 + 10) (x y) - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Schritt 2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 2 (x y) + 10 (x y) - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Schritt 2.1.6

Versetze die Klammern.

$\frac{x^{2} - 2 x y + 10 x y - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(x^{2} - 2 x y) + 10 x y - 20 y^{2}}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (x - 2 y) + 10 y (x - 2 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 2 y$ .

$\frac{(x - 2 y) (x + 10 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 x + 30 y}$

Schritt 3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 30 y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{(x - 2 y) (x + 10 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 (x) + 30 y}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $3$ aus $30 y$ heraus.

$\frac{(x - 2 y) (x + 10 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 (x) + 3 (10 y)}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (10 y)$ heraus.

$\frac{(x - 2 y) (x + 10 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 (x + 10 y)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 10 y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Faktorisiere $x + 10 y$ aus $(x - 2 y) (x + 10 y)$ heraus.

$\frac{(x + 10 y) (x - 2 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3 (x + 10 y)}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $x + 10 y$ aus $3 (x + 10 y)$ heraus.

$\frac{(x + 10 y) (x - 2 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{(x + 10 y) \cdot 3}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 10 y) (x - 2 y)}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{(x + 10 y) \cdot 3}$

Schritt 4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x - 2 y}{x + 3 y} \cdot \frac{x - y}{3}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{x - 2 y}{x + 3 y}$ mit $\frac{x - y}{3}$ .

$\frac{(x - 2 y) (x - y)}{(x + 3 y) \cdot 3}$

Schritt 6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x + 3 y$ .

$\frac{(x - 2 y) (x - y)}{3 (x + 3 y)}$

Schritt 7

Multipliziere $(x - 2 y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x - y) - 2 y (x - y)}{3 (x + 3 y)}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x (- y) - 2 y (x - y)}{3 (x + 3 y)}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x (- y) - 2 y x - 2 y (- y)}{3 (x + 3 y)}$

Schritt 8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x (- y) - 2 y x - 2 y (- y)}{3 (x + 3 y)}$

Schritt 8.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{2} - x y - 2 y x - 2 y (- y)}{3 (x + 3 y)}$

Schritt 8.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{x^{2} - x y - 2 y x - 2 \cdot - 1 y \cdot y}{3 (x + 3 y)}$

Schritt 8.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1.4.1

Bewege $y$ .

$\frac{x^{2} - x y - 2 y x - 2 \cdot - 1 (y \cdot y)}{3 (x + 3 y)}$

Schritt 8.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{x^{2} - x y - 2 y x - 2 \cdot - 1 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Schritt 8.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x y - 2 y x + 2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2 y x$ von $- x y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{x^{2} - x y - 2 x y + 2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $2 x y$ von $- x y$ .

$\frac{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Schritt 9

Zerlege den Bruch $\frac{x^{2} - 3 x y + 2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$ in zwei Brüche.

$\frac{x^{2} - 3 x y}{3 (x + 3 y)} + \frac{2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Schritt 10

Zerlege den Bruch $\frac{x^{2} - 3 x y}{3 (x + 3 y)}$ in zwei Brüche.

$\frac{x^{2}}{3 (x + 3 y)} + \frac{- 3 x y}{3 (x + 3 y)} + \frac{2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x y$ heraus.

$\frac{x^{2}}{3 (x + 3 y)} + \frac{3 (- x y)}{3 (x + 3 y)} + \frac{2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Schritt 11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2}}{3 (x + 3 y)} + \frac{3 (- x y)}{3 (x + 3 y)} + \frac{2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Schritt 11.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{3 (x + 3 y)} + \frac{- x y}{x + 3 y} + \frac{2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$

Schritt 12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{2}}{3 (x + 3 y)} - \frac{x y}{x + 3 y} + \frac{2 y^{2}}{3 (x + 3 y)}$