Analysis Beispiele

$\sum_{i = 3}^{10} \sqrt{3} \cdot \frac{i}{2}$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $i$ gleich $1$ ist.

$\sum_{i = 3}^{10} \frac{\sqrt{3} i}{2} = \sum_{i = 1}^{10} \frac{\sqrt{3} i}{2} - \sum_{i = 1}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2}$

Schritt 2

Berechne $\sum_{i = 1}^{10} \frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Faktorisiere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ aus der Summe raus.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sum_{k = 1}^{10} i$

Schritt 2.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 2.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(\frac{\sqrt{3}}{2}) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1.1

Addiere $10$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{10 \cdot 11}{2}$

Schritt 2.4.1.2

Mutltipliziere $10$ mit $11$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{110}{2}$

Schritt 2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $110$ heraus.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 (55)}{2}$

Schritt 2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 \cdot 55}{2}$

Schritt 2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{3} \frac{55}{2}$

Schritt 2.4.3

Kombiniere $\sqrt{3}$ und $\frac{55}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 55}{2}$

Schritt 2.4.4

Bringe $55$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{55 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{i = 1}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $i$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3.2.3

Addiere $\sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$\frac{55 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{55 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $3 \sqrt{3}$ von $55 \sqrt{3}$ .

$\frac{52 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $52$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $52 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (26 \sqrt{3})}{2}$

Schritt 5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (26 \sqrt{3})}{2 (1)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (26 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{26 \sqrt{3}}{1}$

Schritt 5.3.2.4

Dividiere $26 \sqrt{3}$ durch $1$ .

$26 \sqrt{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$26 \sqrt{3}$

Dezimalform:

$45.03332099 \dots$