Analysis Beispiele

$\sum_{x = 1}^{4} {(x - 1)}^{2} + {(x + 1)}^{3}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$(x - 1) (x - 1) + {(x + 1)}^{3}$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x - 1) - 1 (x - 1) + {(x + 1)}^{3}$

Schritt 1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + {(x + 1)}^{3}$

Schritt 1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Schritt 1.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Schritt 1.1.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Schritt 1.1.3.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 + {(x + 1)}^{3}$

Schritt 1.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} - x - x + 1 + {(x + 1)}^{3}$

Schritt 1.1.3.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + {(x + 1)}^{3}$

Schritt 1.1.4

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}$

Schritt 1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}$

Schritt 1.1.5.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}$

Schritt 1.1.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}$

Schritt 1.1.5.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$

Schritt 1.2

Addiere $x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$4 x^{2} - 2 x + 1 + x^{3} + 3 x + 1$

Schritt 1.3

Addiere $- 2 x$ und $3 x$ .

$4 x^{2} + x + 1 + x^{3} + 1$

Schritt 1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$4 x^{2} + x + x^{3} + 2$

Schritt 1.5

Schreibe die Summe um.

$\sum_{x = 1}^{4} 4 x^{2} + x + x^{3} + 2$

Schritt 2

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $x$ .

$4 \cdot 1^{2} + 1 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Potenziere $1$ mit $2$ .

$4 \cdot 1 + 1 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + 1 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.3

Addiere $4$ und $1$ .

$5 + 1^{3} + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.4

Potenziere $1$ mit $3$ .

$5 + 1 + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.5

Addiere $5$ und $1$ .

$6 + 2 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.6

Addiere $6$ und $2$ .

$8 + 4 \cdot 2^{2} + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 + 4 \cdot 4 + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$8 + 16 + 2 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.9

Addiere $16$ und $2$ .

$8 + 18 + 2^{3} + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.10

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 + 18 + 8 + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.11

Addiere $18$ und $8$ .

$8 + 26 + 2 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.12

Addiere $26$ und $2$ .

$8 + 28 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.13

Addiere $8$ und $28$ .

$36 + 4 \cdot 3^{2} + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.14

Potenziere $3$ mit $2$ .

$36 + 4 \cdot 9 + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.15

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$36 + 36 + 3 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.16

Addiere $36$ und $3$ .

$36 + 39 + 3^{3} + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.17

Potenziere $3$ mit $3$ .

$36 + 39 + 27 + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.18

Addiere $39$ und $27$ .

$36 + 66 + 2 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.19

Addiere $66$ und $2$ .

$36 + 68 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.20

Addiere $36$ und $68$ .

$104 + 4 \cdot 4^{2} + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.21

Potenziere $4$ mit $2$ .

$104 + 4 \cdot 16 + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.22

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$104 + 64 + 4 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.23

Addiere $64$ und $4$ .

$104 + 68 + 4^{3} + 2$

Schritt 3.24

Potenziere $4$ mit $3$ .

$104 + 68 + 64 + 2$

Schritt 3.25

Addiere $68$ und $64$ .

$104 + 132 + 2$

Schritt 3.26

Addiere $132$ und $2$ .

$104 + 134$

Schritt 3.27

Addiere $104$ und $134$ .

$238$