Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{6} {(k)}^{3} - {(k - 1)}^{3}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$k^{3} - (k^{3} + 3 k^{2} \cdot - 1 + 3 k {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Schritt 1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$k^{3} - (k^{3} - 3 k^{2} + 3 k {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Schritt 1.1.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$k^{3} - (k^{3} - 3 k^{2} + 3 k \cdot 1 + {(- 1)}^{3})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$k^{3} - (k^{3} - 3 k^{2} + 3 k + {(- 1)}^{3})$

Schritt 1.1.2.4

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$k^{3} - (k^{3} - 3 k^{2} + 3 k - 1)$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$k^{3} - k^{3} - (- 3 k^{2}) - (3 k) - - 1$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$k^{3} - k^{3} + 3 k^{2} - (3 k) - - 1$

Schritt 1.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$k^{3} - k^{3} + 3 k^{2} - 3 k - - 1$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$k^{3} - k^{3} + 3 k^{2} - 3 k + 1$

Schritt 1.2

Subtrahiere $k^{3}$ von $k^{3}$ .

$0 + 3 k^{2} - 3 k + 1$

Schritt 1.3

Addiere $0$ und $3 k^{2}$ .

$3 k^{2} - 3 k + 1$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{k = 1}^{6} 3 k^{2} - 3 k + 1$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{6} 3 k^{2} - 3 k + 1 = 3 \sum_{k = 1}^{6} k^{2} - 3 \sum_{k = 1}^{6} k + \sum_{k = 1}^{6} 1$

Schritt 3

Berechne $3 \sum_{k = 1}^{6} k^{2}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(3) (\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $6$ und $1$ .

$3 \frac{6 \cdot 7 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$3 \frac{42 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$3 \frac{42 (12 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $12$ und $1$ .

$3 \frac{42 \cdot 13}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $42$ mit $13$ .

$3 (\frac{546}{6})$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$3 \frac{546}{3 (2)}$

Schritt 3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{546}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{546}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Dividiere $546$ durch $2$ .

$273$

Schritt 4

Berechne $3 \sum_{k = 1}^{6} k$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 3) (\frac{6 (6 + 1)}{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Addiere $6$ und $1$ .

$- 3 \frac{6 \cdot 7}{2}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$- 3 (\frac{42}{2})$

Schritt 4.3.3

Dividiere $42$ durch $2$ .

$- 3 \cdot 21$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $21$ .

$- 63$

Schritt 5

Berechne $\sum_{k = 1}^{6} 1$ .

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Schritt 5.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 5.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(1) (6)$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6$

Schritt 6

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$273 - 63 + 6$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $63$ von $273$ .

$210 + 6$

Schritt 7.2

Addiere $210$ und $6$ .

$216$