Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{60} (3 i^{2} - i) (2 i - 5)$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Multipliziere $(3 i^{2} - i) (2 i - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 i^{2} (2 i - 5) - i (2 i - 5)$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 i^{2} (2 i) + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i - 5)$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 i^{2} (2 i) + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Schritt 1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \cdot 2 i^{2} i + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Schritt 1.2.1.2

Multipliziere $i^{2}$ mit $i$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.2.1

Bewege $i$ .

$3 \cdot 2 (i \cdot i^{2}) + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Schritt 1.2.1.2.2

Mutltipliziere $i$ mit $i^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.2.2.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$3 \cdot 2 (i^{1} i^{2}) + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Schritt 1.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \cdot 2 i^{1 + 2} + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Schritt 1.2.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$3 \cdot 2 i^{3} + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Schritt 1.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 i^{3} + 3 i^{2} \cdot - 5 - i (2 i) - i \cdot - 5$

Schritt 1.2.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$6 i^{3} - 15 i^{2} - i (2 i) - i \cdot - 5$

Schritt 1.2.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 i^{3} - 15 i^{2} - 1 \cdot 2 i \cdot i - i \cdot - 5$

Schritt 1.2.1.6

Multipliziere $i$ mit $i$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.6.1

Bewege $i$ .

$6 i^{3} - 15 i^{2} - 1 \cdot 2 (i \cdot i) - i \cdot - 5$

Schritt 1.2.1.6.2

Mutltipliziere $i$ mit $i$ .

$6 i^{3} - 15 i^{2} - 1 \cdot 2 i^{2} - i \cdot - 5$

Schritt 1.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 i^{3} - 15 i^{2} - 2 i^{2} - i \cdot - 5$

Schritt 1.2.1.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$6 i^{3} - 15 i^{2} - 2 i^{2} + 5 i$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $2 i^{2}$ von $- 15 i^{2}$ .

$6 i^{3} - 17 i^{2} + 5 i$

Schritt 1.3

Schreibe die Summe um.

$\sum_{i = 1}^{60} 6 i^{3} - 17 i^{2} + 5 i$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{i = 1}^{60} 6 i^{3} - 17 i^{2} + 5 i = 6 \sum_{i = 1}^{60} i^{3} - 17 \sum_{i = 1}^{60} i^{2} + 5 \sum_{i = 1}^{60} i$

Schritt 3

Berechne $6 \sum_{i = 1}^{60} i^{3}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $3$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(6) (\frac{60^{2} {(60 + 1)}^{2}}{4})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Addiere $60$ und $1$ .

$6 \frac{60^{2} \cdot 61^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.2

Potenziere $60$ mit $2$ .

$6 \frac{3600 \cdot 61^{2}}{4}$

Schritt 3.3.1.3

Potenziere $61$ mit $2$ .

$6 \frac{3600 \cdot 3721}{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $3600$ mit $3721$ .

$6 (\frac{13395600}{4})$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 (3) \frac{13395600}{4}$

Schritt 3.3.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \cdot 3 \frac{13395600}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 3 \frac{13395600}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{13395600}{2})$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{13395600}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 13395600}{2}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.2.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $13395600$ .

$\frac{40186800}{2}$

Schritt 3.3.2.4.2

Dividiere $40186800$ durch $2$ .

$20093400$

Schritt 4

Berechne $17 \sum_{i = 1}^{60} i^{2}$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 17) (\frac{60 (60 + 1) (2 \cdot 60 + 1)}{6})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Addiere $60$ und $1$ .

$- 17 \frac{60 \cdot 61 (2 \cdot 60 + 1)}{6}$

Schritt 4.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $60$ mit $61$ .

$- 17 \frac{3660 (2 \cdot 60 + 1)}{6}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $60$ .

$- 17 \frac{3660 (120 + 1)}{6}$

Schritt 4.3.1.3

Addiere $120$ und $1$ .

$- 17 \frac{3660 \cdot 121}{6}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $3660$ mit $121$ .

$- 17 (\frac{442860}{6})$

Schritt 4.3.2.2

Dividiere $442860$ durch $6$ .

$- 17 \cdot 73810$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $- 17$ mit $73810$ .

$- 1254770$

Schritt 5

Berechne $5 \sum_{i = 1}^{60} i$ .

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Schritt 5.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 5.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(5) (\frac{60 (60 + 1)}{2})$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Addiere $60$ und $1$ .

$5 \frac{60 \cdot 61}{2}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $60$ mit $61$ .

$5 (\frac{3660}{2})$

Schritt 5.3.3

Dividiere $3660$ durch $2$ .

$5 \cdot 1830$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $5$ mit $1830$ .

$9150$

Schritt 6

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$20093400 - 1254770 + 9150$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $1254770$ von $20093400$ .

$18838630 + 9150$

Schritt 7.2

Addiere $18838630$ und $9150$ .

$18847780$