Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{n}$

Schritt 1

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $\frac{a}{1 - r}$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{n}$ und $a_{n + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{n + 1}}{{(\frac{2}{3})}^{n}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(\frac{2}{3})}^{n + 1}$ und ${(\frac{2}{3})}^{n}$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere ${(\frac{2}{3})}^{n}$ aus ${(\frac{2}{3})}^{n + 1}$ heraus.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{n} \frac{2}{3}}{{(\frac{2}{3})}^{n}}$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{n} \frac{2}{3}}{{(\frac{2}{3})}^{n} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{n} \frac{2}{3}}{{(\frac{2}{3})}^{n} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{\frac{2}{3}}{1}$

Schritt 2.2.2.4

Dividiere $\frac{2}{3}$ durch $1$ .

$r = \frac{2}{3}$

Schritt 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Schritt 4

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 4.1

Setze $1$ für $n$ in ${(\frac{2}{3})}^{n}$ ein.

$a = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

$a = \frac{2}{3}$

Schritt 5

Ersetze die Werte des Verhältnisses und des ersten Terms in der Summenformel.

$\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 2}{3}}$

Schritt 6.2.3

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Schritt 6.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2}{3} (1 \cdot 3)$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $3$ aus $1 \cdot 3$ heraus.

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

Schritt 6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

Schritt 6.4.3

Forme den Ausdruck um.

$2$