Analysis Beispiele

$f (x) = \tan (\frac{π x}{2})$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \tan (\frac{π x}{2})$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $\tan (\frac{π x}{2}) = 0$ um.

$\tan (\frac{π x}{2}) = 0$

Schritt 1.2.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$\frac{π x}{2} = \arctan (0)$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$\frac{π x}{2} = 0$

Schritt 1.2.4

Setze den Zähler gleich Null.

$π x = 0$

Schritt 1.2.5

Teile jeden Ausdruck in $π x = 0$ durch $π$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $π x = 0$ durch $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.3.1

Dividiere $0$ durch $π$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.6

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$\frac{π x}{2} = π + 0$

Schritt 1.2.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.7.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (π + 0)$

Schritt 1.2.7.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.7.2.1.1

Vereinfache $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

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Schritt 1.2.7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.7.2.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (π + 0)$

Schritt 1.2.7.2.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (π + 0)$

Schritt 1.2.7.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.7.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π x$ heraus.

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (π + 0)$

Schritt 1.2.7.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (π + 0)$

Schritt 1.2.7.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{π} (π + 0)$

Schritt 1.2.7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.7.2.2.1

Vereinfache $\frac{2}{π} (π + 0)$ .

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Schritt 1.2.7.2.2.1.1

Addiere $π$ und $0$ .

$x = \frac{2}{π} π$

Schritt 1.2.7.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.7.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2}{π} π$

Schritt 1.2.7.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 2$

Schritt 1.2.8

Ermittele die Periode von $\tan (\frac{π x}{2})$ .

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Schritt 1.2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 1.2.8.2

Ersetze $b$ durch $\frac{π}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{π}{2} |}$

Schritt 1.2.8.3

$\frac{π}{2}$ ist ungefähr $1.57079632$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{π}{2}}$

Schritt 1.2.8.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \frac{2}{π}$

Schritt 1.2.8.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 1.2.8.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$π \frac{2}{π}$

Schritt 1.2.8.5.2

Forme den Ausdruck um.

$2$

Schritt 1.2.9

Die Periode der Funktion $\tan (\frac{π x}{2})$ ist $2$ , d. h., Werte werden sich alle $2$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 n, 2 + 2 n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.2.10

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = 2 n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2 n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \tan (\frac{π (0)}{2})$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $π$ mit $0$ .

$y = \tan (\frac{π \cdot 0}{2})$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \tan (\frac{π (0)}{2})$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $\tan (\frac{π (0)}{2})$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $π (0)$ heraus.

$y = \tan (\frac{2 (π \cdot (0))}{2})$

Schritt 2.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = \tan (\frac{2 (π \cdot (0))}{2 (1)})$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \tan (\frac{2 (π \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

Schritt 2.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \tan (\frac{π \cdot (0)}{1})$

Schritt 2.2.3.1.2.4

Dividiere $π \cdot (0)$ durch $1$ .

$y = \tan (π \cdot (0))$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$y = \tan (0)$

Schritt 2.2.3.3

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2 n, 0)$ , für jede Ganzzahl $n$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4