Analysis Beispiele

$3 w^{2} + w < (w + 2)$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die $w$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $w$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 w^{2} + w - w < 2$

Schritt 1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 w^{2} + w - w$ .

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $w$ von $w$ .

$3 w^{2} + 0 < 2$

Schritt 1.2.2

Addiere $3 w^{2}$ und $0$ .

$3 w^{2} < 2$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $3 w^{2} < 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 w^{2} < 2$ durch $3$ .

$\frac{3 w^{2}}{3} < \frac{2}{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 w^{2}}{3} < \frac{2}{3}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $w^{2}$ durch $1$ .

$w^{2} < \frac{2}{3}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{w^{2}} < \sqrt{\frac{2}{3}}$

Schritt 4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| w | < \sqrt{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\sqrt{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe $\sqrt{\frac{2}{3}}$ als $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ um.

$| w | < \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| w | < \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.2.1.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 4.2.1.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 4.2.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.2.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.2.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.2.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 4.2.1.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$| w | < \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$| w | < \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Schritt 4.2.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$| w | < \frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 5

Schreibe $| w | < \frac{\sqrt{6}}{3}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$w \geq 0$

Schritt 5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $w$ nicht negativ ist.

$w < \frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$w < 0$

Schritt 5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $w$ negativ ist.

$- w < \frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} w < \frac{\sqrt{6}}{3} & w \geq 0 \\ - w < \frac{\sqrt{6}}{3} & w < 0 \end{cases}$

Schritt 6

Bestimme die Schnittmenge von $w < \frac{\sqrt{6}}{3}$ und $w \geq 0$ .

$0 \leq w < \frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 7

Löse $- w < \frac{\sqrt{6}}{3}$ , wenn $w < 0$ ergibt.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- w < \frac{\sqrt{6}}{3}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Teile jeden Term in $- w < \frac{\sqrt{6}}{3}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- w}{- 1} > \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{- 1}$

Schritt 7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{w}{1} > \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{- 1}$

Schritt 7.1.2.2

Dividiere $w$ durch $1$ .

$w > \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{- 1}$

Schritt 7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{- 1}$ .

$w > - 1 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 7.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$ als $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ um.

$w > - \frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 7.2

Bestimme die Schnittmenge von $w > - \frac{\sqrt{6}}{3}$ und $w < 0$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{3} < w < 0$

Schritt 8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \frac{\sqrt{6}}{3} < w < \frac{\sqrt{6}}{3}$

Schritt 9

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3})$

Schritt 10