Analysis Beispiele

$\frac{6 x}{2^{4 x^{2}}}$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int \frac{x}{2^{4 x^{2}}} d x$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $2^{4 x^{2}}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$6 \int x {(2^{4 x^{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{4 x^{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int x \cdot 2^{4 x^{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$6 \int x \cdot 2^{- 4 x^{2}} d x$

Schritt 3

Sei $u = - 4 x^{2}$ . Dann ist $d u = - 8 x d x$ , folglich $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = - 4 x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $- 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Schritt 3.1.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 (2 x)$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 8 x$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$6 \int 2^{u} \frac{1}{- 8} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 \int 2^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Schritt 4.2

Kombiniere $2^{u}$ und $\frac{1}{8}$ .

$6 \int - \frac{2^{u}}{8} d u$

Schritt 5

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$6 (- \int \frac{2^{u}}{8} d u)$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 \int \frac{2^{u}}{8} d u$

Schritt 7

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$- 6 (\frac{1}{8} \int 2^{u} d u)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $- 6$ .

$\frac{- 6}{8} \int 2^{u} d u$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $8$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{2 (- 3)}{8} \int 2^{u} d u$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4} \int 2^{u} d u$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 4} \int 2^{u} d u$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{4} \int 2^{u} d u$

Schritt 8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{4} \int 2^{u} d u$

Schritt 9

Das Integral von $2^{u}$ nach $u$ ist $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$- \frac{3}{4} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Schreibe $- \frac{3}{4} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ als $- \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ um.

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (2)}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{\ln (2) \cdot 4} \cdot 2^{u} + C$

Schritt 10.2.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\ln (2)$ .

$- \frac{3}{4 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $- 4 x^{2}$ .

$- \frac{3}{4 \ln (2)} \cdot 2^{- 4 x^{2}} + C$