Analysis Beispiele

$2 t e^{2 t}$

Schritt 1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int t e^{2 t} d t$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = t$ und $d v = e^{2 t}$ .

$2 (t (\frac{1}{2} e^{2 t}) - \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 t}$ .

$2 (t \frac{e^{2 t}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t)$

Schritt 3.2

Kombiniere $t$ und $\frac{e^{2 t}}{2}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 t} d t)$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 t}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \int \frac{e^{2 t}}{2} d t)$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 t} d t))$

Schritt 5

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Schritt 6

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Schritt 9

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Schritt 10

Schreibe $2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ als $2 (\frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ um.

$2 (\frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$2 (\frac{1}{2} t e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{2 t}) + C$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t$ .

$2 (\frac{t}{2} e^{2 t} - \frac{1}{4} e^{2 t}) + C$

Schritt 12.1.2

Kombiniere $\frac{t}{2}$ und $e^{2 t}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 t}) + C$

Schritt 12.1.3

Kombiniere $e^{2 t}$ und $\frac{1}{4}$ .

$2 (\frac{t e^{2 t}}{2} - \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{t e^{2 t}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Schritt 12.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{t e^{2 t}}{2} + 2 (- \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Schritt 12.3.2

Forme den Ausdruck um.

$t e^{2 t} + 2 (- \frac{e^{2 t}}{4}) + C$

Schritt 12.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{2 t}}{4}$ in den Zähler.

$t e^{2 t} + 2 \frac{- e^{2 t}}{4} + C$

Schritt 12.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$t e^{2 t} + 2 \frac{- e^{2 t}}{2 (2)} + C$

Schritt 12.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t e^{2 t} + 2 \frac{- e^{2 t}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 12.4.4

Forme den Ausdruck um.

$t e^{2 t} + \frac{- e^{2 t}}{2} + C$

Schritt 12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t e^{2 t} - \frac{e^{2 t}}{2} + C$

Schritt 12.6

Um $t e^{2 t}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$t e^{2 t} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{2 t}}{2} + C$

Schritt 12.7

Kombiniere $t e^{2 t}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t e^{2 t} \cdot 2}{2} - \frac{e^{2 t}}{2} + C$

Schritt 12.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{t e^{2 t} \cdot 2 - e^{2 t}}{2} + C$

Schritt 12.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.9.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t e^{2 t}$ .

$\frac{2 \cdot (t e^{2 t}) - e^{2 t}}{2} + C$

Schritt 12.9.2

Faktorisiere $e^{2 t}$ aus $2 t e^{2 t} - e^{2 t}$ heraus.

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Schritt 12.9.2.1

Faktorisiere $e^{2 t}$ aus $2 t e^{2 t}$ heraus.

$\frac{e^{2 t} (2 t) - e^{2 t}}{2} + C$

Schritt 12.9.2.2

Faktorisiere $e^{2 t}$ aus $- e^{2 t}$ heraus.

$\frac{e^{2 t} (2 t) + e^{2 t} \cdot - 1}{2} + C$

Schritt 12.9.2.3

Faktorisiere $e^{2 t}$ aus $e^{2 t} (2 t) + e^{2 t} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{e^{2 t} (2 t - 1)}{2} + C$

$\frac{1}{2} e^{2 t} (2 t - 1) + C$