Analysis Beispiele

$\int \frac{3 x^{2}}{\sqrt{2 x^{2} + 5}} d x$

Schritt 1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{2 x^{2} + 5}} d x$

Schritt 2

Sei $x = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2}$ positiv ist.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\sqrt{{\sqrt{2}}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2^{1} {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.4.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{10}}{2} \tan (t))}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.5

Kombiniere $\frac{\sqrt{10}}{2}$ und $\tan (t)$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 {(\frac{\sqrt{10} \tan (t)}{2})}^{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1.1.6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{10} \tan (t)}{2}$ an.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{{(\sqrt{10} \tan (t))}^{2}}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.6.2

Wende die Produktregel auf $\sqrt{10} \tan (t)$ an.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{{\sqrt{10}}^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.7

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 3.1.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10^{1} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10 \tan^{2} (t)}{2^{2}} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10 \tan^{2} (t)}{4} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10 \tan^{2} (t)}{2 (2)} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{2 \frac{10 \tan^{2} (t)}{2 \cdot 2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.9.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{\frac{10 \tan^{2} (t)}{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $2$ .

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Schritt 3.1.1.10.1

Faktorisiere $2$ aus $10 \tan^{2} (t)$ heraus.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{\frac{2 (5 \tan^{2} (t))}{2} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.1.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{\frac{2 (5 \tan^{2} (t))}{2 (1)} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{\frac{2 (5 \tan^{2} (t))}{2 \cdot 1} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{\frac{5 \tan^{2} (t)}{1} + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.10.2.4

Dividiere $5 \tan^{2} (t)$ durch $1$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + {\sqrt{5}}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.11

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 3.1.1.11.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.11.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.11.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{2}{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.1.11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{\frac{2}{2}}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.11.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5^{1}}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.1.11.5

Berechne den Exponenten.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \tan^{2} (t) + 5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 \tan^{2} (t) + 5$ heraus.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \tan^{2} (t)$ heraus.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 (\tan^{2} (t)) + 5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.2.2

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 (\tan^{2} (t)) + 5 (1)}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.2.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (\tan^{2} (t)) + 5 (1)$ heraus.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{5 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.4

Stelle $5$ und $\sec^{2} (t)$ um.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sqrt{\sec^{2} (t) \cdot 5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \tan (t))}^{2}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ und $\tan (t)$ .

$3 \int \frac{{(\frac{\sqrt{5} \tan (t)}{\sqrt{2}})}^{2}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{5} \tan (t)}{\sqrt{2}}$ an.

$3 \int \frac{\frac{{(\sqrt{5} \tan (t))}^{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.2.2

Wende die Produktregel auf $\sqrt{5} \tan (t)$ an.

$3 \int \frac{\frac{{\sqrt{5}}^{2} \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.3.1

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 3.2.2.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \int \frac{\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.2.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int \frac{\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.2.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 \int \frac{\frac{5^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \int \frac{\frac{5^{\frac{2}{2}} \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.2.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \int \frac{\frac{5^{1} \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.2.3.1.5

Berechne den Exponenten.

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.2.3.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.2.2.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.2.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.2.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.2.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.2.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{2^{1}}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.2.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$3 \int \frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{2}}{\sec (t) \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.2.3.3

Schreibe $\frac{\frac{5 \tan^{2} (t)}{2}}{\sec (t) \sqrt{5}}$ als ein Produkt um.

$3 \int \frac{5 \tan^{2} (t)}{2} \cdot \frac{1}{\sec (t) \sqrt{5}} \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.2.3.4

Mutltipliziere $\frac{5 \tan^{2} (t)}{2}$ mit $\frac{1}{\sec (t) \sqrt{5}}$ .

$3 \int \frac{5 \tan^{2} (t)}{2 (\sec (t) \sqrt{5})} \cdot \frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 3.2.2.3.5

Mutltipliziere $\frac{5 \tan^{2} (t)}{2 \sec (t) \sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{10} \sec^{2} (t)}{2}$ .

$3 \int \frac{5 \tan^{2} (t) (\sqrt{10} \sec^{2} (t))}{2 \sec (t) \sqrt{5} \cdot 2} d t$

Schritt 3.2.2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 \int \frac{5 \tan^{2} (t) (\sqrt{10} \sec^{2} (t))}{4 \sec (t) \sqrt{5}} d t$

Schritt 3.2.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sec^{2} (t)$ und $\sec (t)$ .

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Schritt 3.2.2.3.7.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $5 \tan^{2} (t) \sqrt{10} \sec^{2} (t)$ heraus.

$3 \int \frac{\sec (t) (5 \tan^{2} (t) \sqrt{10} \sec (t))}{4 \sec (t) \sqrt{5}} d t$

Schritt 3.2.2.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.3.7.2.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $4 \sec (t) \sqrt{5}$ heraus.

$3 \int \frac{\sec (t) (5 \tan^{2} (t) \sqrt{10} \sec (t))}{\sec (t) (4 \sqrt{5})} d t$

Schritt 3.2.2.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \int \frac{\sec (t) (5 \tan^{2} (t) \sqrt{10} \sec (t))}{\sec (t) (4 \sqrt{5})} d t$

Schritt 3.2.2.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \int \frac{5 \tan^{2} (t) \sqrt{10} \sec (t)}{4 \sqrt{5}} d t$

Schritt 4

Da $\frac{5 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{5 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}}$ aus dem Integral.

$3 (\frac{5 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{5 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}}$ und $3$ .

$\frac{5 \sqrt{10} \cdot 3}{4 \sqrt{5}} \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Schritt 6

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 7

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 8

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 8.2

Vereinfache jeden Term.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 11

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 12

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{3} (t)$ heraus.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

Schritt 13

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sec (t)$ und $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Schritt 14

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Schritt 15

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Schritt 17

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 17.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 17.2

Stelle $\tan^{2} (t)$ und $\sec (t)$ um.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Schritt 18

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Schritt 19

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 19.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 19.3

Stelle $\sec (t)$ und $- 1$ um.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 20

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Schritt 21

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 22

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Schritt 23

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 24

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Schritt 25

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Schritt 26

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 27

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 28

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 29

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 30

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 30.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 30.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 31

Wenn nach $\int \sec^{3} (t) d t$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Schritt 32

Mutltipliziere $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ mit $1$ .

$\frac{15 \sqrt{10}}{4 \sqrt{5}} (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Schritt 33

Vereinfache.

$\frac{15 \sqrt{\frac{10}{5}}}{4} (- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}) + C$

Schritt 34

Vereinfache.

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Schritt 34.1

Dividiere $10$ durch $5$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} (- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}) + C$

Schritt 34.2

Um $- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} (- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}) + C$

Schritt 34.3

Kombiniere $- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} (\frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2}{2} + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}) + C$

Schritt 34.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Schritt 34.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Schritt 34.6

Addiere $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ und $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{15 \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

Schritt 34.7

Mutltipliziere $\frac{15 \sqrt{2}}{4}$ mit $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ .

$\frac{15 \sqrt{2} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{4 \cdot 2} + C$

Schritt 34.8

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{15 \sqrt{2} (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{8} + C$

Schritt 35

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{5}})$ .

$\frac{15 \sqrt{2} (\sec (\arctan (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{5}})) \tan (\arctan (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{5}})) - \ln (| \sec (\arctan (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{5}})) + \tan (\arctan (\frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{5}})) |))}{8} + C$

Schritt 36

Stelle die Terme um.

$\frac{15 \sqrt{2}}{8} (\sec (\arctan (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x)) \tan (\arctan (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x)) - \ln (| \sec (\arctan (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x)) + \tan (\arctan (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} x)) |)) + C$