Analysis Beispiele

$\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sqrt{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 5.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 5.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 5.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + C$