Analysis Beispiele

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) = \tan (θ) \sin^{2} (θ)$

Schritt 1

Beginne auf der linken Seite.

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Schreibe $\cot (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\tan (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} ({(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{2} - \sin^{2} (θ))$

Schritt 2.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ an.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \sin^{2} (θ))$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \sin^{2} (θ))$

Schritt 2.4

Kombinieren.

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \sin^{2} (θ))$

Schritt 2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Schritt 2.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos (θ)$ und $\cos^{2} (θ)$ .

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Schritt 2.6.1.1

Faktorisiere $\cos (θ)$ aus $\cos (θ) \sin^{2} (θ)$ heraus.

$\frac{\cos (θ) (\sin^{2} (θ))}{\sin (θ) \cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Schritt 2.6.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.1.2.1

Faktorisiere $\cos (θ)$ aus $\sin (θ) \cos^{2} (θ)$ heraus.

$\frac{\cos (θ) (\sin^{2} (θ))}{\cos (θ) (\sin (θ) \cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Schritt 2.6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (θ) \sin^{2} (θ)}{\cos (θ) (\sin (θ) \cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Schritt 2.6.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sin^{2} (θ)$ und $\sin (θ)$ .

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Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin^{2} (θ)$ heraus.

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Schritt 2.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.2.2.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin (θ) \cos (θ)$ heraus.

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) (\cos (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Schritt 2.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ) \cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Schritt 2.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Schritt 2.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (θ)$ .

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Schritt 2.6.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ in den Zähler.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} \sin^{2} (θ)$

Schritt 2.6.3.2

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin^{2} (θ)$ heraus.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} (\sin (θ) \sin (θ))$

Schritt 2.6.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\sin (θ)} (\sin (θ) \sin (θ))$

Schritt 2.6.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \cos (θ) \sin (θ)$

Schritt 3

Schreibe $- \cos (θ) \sin (θ)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$

Schritt 4

Addiere Brüche.

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Schritt 4.1

Um $\frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{- \cos (θ) \sin (θ)}{1}$ mit $\frac{\cos (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 5

Multipliziere $- \cos (θ) \sin (θ) \cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) - \cos^{2} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 6

Wende den umgekehrten trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{\sin (θ) - (1 - \sin^{2} (θ)) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin (θ) - (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)$ heraus.

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Schritt 7.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 - (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 7.1.1.2

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $- (1 - {\sin (θ)}^{2}) \sin (θ)$ heraus.

$\frac{\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- (1 - {\sin (θ)}^{2}))}{\cos (θ)}$

Schritt 7.1.1.3

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin (θ) \cdot 1 + \sin (θ) (- (1 - {\sin (θ)}^{2}))$ heraus.

$\frac{\sin (θ) (1 - (1 - {\sin (θ)}^{2}))}{\cos (θ)}$

Schritt 7.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 \cdot 1 - - {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 - - {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Schritt 7.1.4

Multipliziere $- - {\sin (θ)}^{2}$ .

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Schritt 7.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 + 1 {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Schritt 7.1.4.2

Mutltipliziere ${\sin (θ)}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sin (θ) (1 - 1 + {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Schritt 7.1.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{\sin (θ) (0 + {\sin (θ)}^{2})}{\cos (θ)}$

Schritt 7.1.6

Addiere $0$ und ${\sin (θ)}^{2}$ .

$\frac{\sin (θ) {\sin (θ)}^{2}}{\cos (θ)}$

Schritt 7.2

Multipliziere $\sin (θ)$ mit ${\sin (θ)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

$\frac{\sin^{3} (θ)}{\cos (θ)}$

Schritt 8

Schreibe $\frac{\sin^{3} (θ)}{\cos (θ)}$ als $\tan (θ) \sin^{2} (θ)$ um.

$\tan (θ) \sin^{2} (θ)$

Schritt 9

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$\cot (θ) (\tan^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) = \tan (θ) \sin^{2} (θ)$ ist eine Identitätsgleichung