Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ , $g (x) = 3 x^{2} - 1$

Schritt 1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (g (x))$

Schritt 2

Berechne $f (3 x^{2} - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $g$ in $f$ .

$f (3 x^{2} - 1) = {(3 x^{2} - 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f (3 x^{2} - 1) = {(3 x^{2})}^{3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{2}$ an.

$f (3 x^{2} - 1) = 3^{3} {(x^{2})}^{3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 {(x^{2})}^{3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{2 \cdot 3} + 3 {(3 x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} + 3 {(3 x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.4

Wende die Produktregel auf $3 x^{2}$ an.

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} + 3 (3^{2} {(x^{2})}^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.5.1

Bewege $3^{2}$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} + 3^{2} \cdot (3 {(x^{2})}^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.5.2

Mutltipliziere $3^{2}$ mit $3$ .

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Schritt 3.2.5.2.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} + 3^{2} \cdot (3 {(x^{2})}^{2}) \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} + 3^{2 + 1} {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} + 3^{3} {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.6

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} + 27 {(x^{2})}^{2} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.7

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} + 27 x^{2 \cdot 2} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} + 27 x^{4} \cdot - 1 + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 3 (3 x^{2}) {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.10

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} \cdot 1 + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.11

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} + {(- 1)}^{3} - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3.2.12

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 {(3 x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 3.3

Schreibe ${(3 x^{2} - 1)}^{2}$ als $(3 x^{2} - 1) (3 x^{2} - 1)$ um.

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 ((3 x^{2} - 1) (3 x^{2} - 1))$

Schritt 3.4

Multipliziere $(3 x^{2} - 1) (3 x^{2} - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (3 x^{2} (3 x^{2} - 1) - 1 (3 x^{2} - 1))$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2} - 1))$

Schritt 3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Schritt 3.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (3 \cdot (3 x^{2} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.5.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (3 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Schritt 3.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (3 \cdot (3 x^{2 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Schritt 3.5.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (3 \cdot (3 x^{4}) + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Schritt 3.5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (9 x^{4} + 3 x^{2} \cdot - 1 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Schritt 3.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (9 x^{4} - 3 x^{2} - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)$

Schritt 3.5.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (9 x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Schritt 3.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (9 x^{4} - 3 x^{2} - 3 x^{2} + 1)$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $- 3 x^{2}$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (9 x^{4} - 6 x^{2} + 1)$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 3 (9 x^{4}) - 3 (- 6 x^{2}) - 3 \cdot 1$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 3$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 27 x^{4} - 3 (- 6 x^{2}) - 3 \cdot 1$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 3$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 27 x^{4} + 18 x^{2} - 3 \cdot 1$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 27 x^{4} + 9 x^{2} - 1 - 27 x^{4} + 18 x^{2} - 3$

Schritt 4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $27 x^{4}$ von $- 27 x^{4}$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 54 x^{4} + 9 x^{2} - 1 + 18 x^{2} - 3$

Schritt 4.2

Addiere $9 x^{2}$ und $18 x^{2}$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 54 x^{4} + 27 x^{2} - 1 - 3$

Schritt 4.3

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$f (3 x^{2} - 1) = 27 x^{6} - 54 x^{4} + 27 x^{2} - 4$