Analysis Beispiele

$f (x) = {(x + 1)}^{3} {(x + 2)}^{2}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} ((x + 2) (x + 2))]$

Schritt 1.1.1.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x (x + 2) + 2 (x + 2))]$

Schritt 1.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))]$

Schritt 1.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Schritt 1.1.1.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)]$

Schritt 1.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)]$

Schritt 1.1.1.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3} (x^{2} + 4 x + 4)]$

Schritt 1.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(x + 1)}^{3}$ und $g (x) = x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Schritt 1.1.1.5

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4 x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

${(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Schritt 1.1.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Schritt 1.1.1.5.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Schritt 1.1.1.5.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Schritt 1.1.1.5.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Schritt 1.1.1.5.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4 + 0) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Schritt 1.1.1.5.7

Addiere $2 x + 4$ und $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$

Schritt 1.1.1.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x + 1$ .

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Schritt 1.1.1.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 1.1.1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 1.1.1.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x + 4) (3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Schritt 1.1.1.7

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.7.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2} + 4 x + 4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 \cdot (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 1.1.1.7.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.1.1.7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.1.1.7.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} (1 + 0)$

Schritt 1.1.1.7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.7.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2} \cdot 1$

Schritt 1.1.1.7.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + 3 (x^{2} + 4 x + 4) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.1.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.1.1.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.1.1.8.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.1.1.8.4

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1.8.4.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus ${(x + 1)}^{3} (2 x + 4)$ heraus.

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + (3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 1.1.1.8.4.2

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus $(3 x^{2} + 12 x + 12) {(x + 1)}^{2}$ heraus.

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.4.3

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus ${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4)) + {(x + 1)}^{2} (3 x^{2} + 12 x + 12)$ heraus.

${(x + 1)}^{2} ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.5

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$(x + 1) (x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.6

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.8.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x (x + 1) + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.1.8.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.8.7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.7.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.7.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$(x^{2} + x + x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.7.2

Addiere $x$ und $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) ((x + 1) (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.8.8.1

Multipliziere $(x + 1) (2 x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.8.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x + 4) + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.8.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x + 4) + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} + 2 x + 1) (x (2 x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.8.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.1.8.8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.8.8.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x \cdot x + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.8.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.8.8.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.8.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + x \cdot 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.8.2.1.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.8.2.1.4

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 1 \cdot 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.8.2.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 4 x + 2 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.8.2.2

Addiere $4 x$ und $2 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (2 x^{2} + 6 x + 4 + 3 x^{2} + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.9

Addiere $2 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 6 x + 4 + 12 x + 12)$

Schritt 1.1.1.8.10

Addiere $6 x$ und $12 x$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 4 + 12)$

Schritt 1.1.1.8.11

Addiere $4$ und $12$ .

$(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$

Schritt 1.1.1.8.12

Multipliziere $(x^{2} + 2 x + 1) (5 x^{2} + 18 x + 16)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.8.13.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{2} x^{2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.8.13.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{2 + 2} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$5 x^{4} + x^{2} (18 x) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{4} + 18 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.8.13.4.1

Bewege $x$ .

$5 x^{4} + 18 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.8.13.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{4} + 18 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{4} + 18 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + x^{2} \cdot 16 + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.5

Bringe $16$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 \cdot x^{2} + 2 x (5 x^{2}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x \cdot x^{2} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.7

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.8.13.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.7.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 1.1.1.8.13.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 (x^{2} x^{1}) + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{2 + 1} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.7.3

Addiere $2$ und $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot 5 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.8

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 x (18 x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x \cdot x + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.10

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.8.13.10.1

Bewege $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 (x \cdot x) + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 2 \cdot 18 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.11

Mutltipliziere $2$ mit $18$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 2 x \cdot 16 + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.12

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 1 (5 x^{2}) + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.13

Mutltipliziere $5 x^{2}$ mit $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 1 (18 x) + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.14

Mutltipliziere $18 x$ mit $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 1 \cdot 16$

Schritt 1.1.1.8.13.15

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$5 x^{4} + 18 x^{3} + 16 x^{2} + 10 x^{3} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Schritt 1.1.1.8.14

Addiere $18 x^{3}$ und $10 x^{3}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 16 x^{2} + 36 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Schritt 1.1.1.8.15

Addiere $16 x^{2}$ und $36 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 52 x^{2} + 32 x + 5 x^{2} + 18 x + 16$

Schritt 1.1.1.8.16

Addiere $52 x^{2}$ und $5 x^{2}$ .

$5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 32 x + 18 x + 16$

Schritt 1.1.1.8.17

Addiere $32 x$ und $18 x$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} + 28 x^{3} + 57 x^{2} + 50 x + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.1.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.1.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [28 x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.1.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [28 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Da $28$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $28 x^{3}$ nach $x$ gleich $28 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 28 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$20 x^{3} + 28 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.1.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $28$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + \frac{d}{d x} [57 x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.1.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [57 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Da $57$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $57 x^{2}$ nach $x$ gleich $57 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.1.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 57 (2 x) + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.1.2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $57$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + \frac{d}{d x} [50 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.1.2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [50 x]$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Da $50$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $50 x$ nach $x$ gleich $50 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.1.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.1.2.5.3

Mutltipliziere $50$ mit $1$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + \frac{d}{d x} [16]$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.2.6.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 + 0$

Schritt 1.1.2.6.2

Addiere $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ und $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $20 x^{3} + 84 x^{2} + 114 x + 50$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $20 x^{3}$ heraus.

$2 (10 x^{3}) + 84 x^{2} + 114 x + 50 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $84 x^{2}$ heraus.

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 114 x + 50 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $114 x$ heraus.

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 50 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $50$ heraus.

$2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (10 x^{3}) + 2 (42 x^{2})$ heraus.

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x) + 2 (25) = 0$

Schritt 1.2.2.1.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (10 x^{3} + 42 x^{2}) + 2 (57 x)$ heraus.

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25) = 0$

Schritt 1.2.2.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x) + 2 (25)$ heraus.

$2 (10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 25, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.1, \pm 0.5, \pm 0.2, \pm 25, \pm 2.5, \pm 12.5, \pm 5$

Schritt 1.2.2.2.1.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.2.2.2.1.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$10 {(- 1)}^{3} + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Schritt 1.2.2.2.1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$10 \cdot - 1 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Schritt 1.2.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$- 10 + 42 {(- 1)}^{2} + 57 \cdot - 1 + 25$

Schritt 1.2.2.2.1.3.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 10 + 42 \cdot 1 + 57 \cdot - 1 + 25$

Schritt 1.2.2.2.1.3.5

Mutltipliziere $42$ mit $1$ .

$- 10 + 42 + 57 \cdot - 1 + 25$

Schritt 1.2.2.2.1.3.6

Addiere $- 10$ und $42$ .

$32 + 57 \cdot - 1 + 25$

Schritt 1.2.2.2.1.3.7

Mutltipliziere $57$ mit $- 1$ .

$32 - 57 + 25$

Schritt 1.2.2.2.1.3.8

Subtrahiere $57$ von $32$ .

$- 25 + 25$

Schritt 1.2.2.2.1.3.9

Addiere $- 25$ und $25$ .

$0$

Schritt 1.2.2.2.1.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25}{x + 1}$

Schritt 1.2.2.2.1.5

Dividiere $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ durch $x + 1$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$42 x^{2}$

$57 x$

$25$

Schritt 1.2.2.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $10 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$10 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$

Schritt 1.2.2.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			+	$10 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $10 x^{3} + 10 x^{2}$

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$10 x^{2}$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

Schritt 1.2.2.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $32 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$

Schritt 1.2.2.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					+	$32 x^{2}$	+	$32 x$

Schritt 1.2.2.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $32 x^{2} + 32 x$

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$

Schritt 1.2.2.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$

Schritt 1.2.2.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

Schritt 1.2.2.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $25 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$

Schritt 1.2.2.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							+	$25 x$	+	$25$

Schritt 1.2.2.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $25 x + 25$

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$

Schritt 1.2.2.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$10 x^{2}$	+	$32 x$	+	$25$
$x$	+	$1$		$10 x^{3}$	+	$42 x^{2}$	+	$57 x$	+	$25$
			-	$10 x^{3}$	-	$10 x^{2}$
					+	$32 x^{2}$	+	$57 x$
					-	$32 x^{2}$	-	$32 x$
							+	$25 x$	+	$25$
							-	$25 x$	-	$25$
										$0$

Schritt 1.2.2.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$10 x^{2} + 32 x + 25$

Schritt 1.2.2.2.1.6

Schreibe $10 x^{3} + 42 x^{2} + 57 x + 25$ als eine Menge von Faktoren.

$2 ((x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 1.2.5

Setze $10 x^{2} + 32 x + 25$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $10 x^{2} + 32 x + 25$ gleich $0$ .

$10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $10 x^{2} + 32 x + 25 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5.2.2

Setze die Werte $a = 10$ , $b = 32$ und $c = 25$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 32 \pm \sqrt{32^{2} - 4 \cdot (10 \cdot 25)}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1

Potenziere $32$ mit $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 40$ mit $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.3

Subtrahiere $1000$ von $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Schritt 1.2.5.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Schritt 1.2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.4.1.1

Potenziere $32$ mit $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 40$ mit $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.3

Subtrahiere $1000$ von $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Schritt 1.2.5.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Schritt 1.2.5.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 16 + \sqrt{6}}{10}$

Schritt 1.2.5.2.4.5

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 16 + \sqrt{6}}{10}$

Schritt 1.2.5.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{6}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - 1 (- \sqrt{6})}{10}$

Schritt 1.2.5.2.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (16) - 1 (- \sqrt{6})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (16 - \sqrt{6})}{10}$

Schritt 1.2.5.2.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}$

Schritt 1.2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.5.1.1

Potenziere $32$ mit $2$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 4 \cdot 10 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 10 \cdot 25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 40 \cdot 25}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 40$ mit $25$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{1024 - 1000}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.3

Subtrahiere $1000$ von $1024$ .

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.4

Schreibe $24$ als $2^{2} \cdot 6$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 32 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$x = \frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$

Schritt 1.2.5.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 32 \pm 2 \sqrt{6}}{20}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{6}}{10}$

Schritt 1.2.5.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 16 - \sqrt{6}}{10}$

Schritt 1.2.5.2.5.5

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - \sqrt{6}}{10}$

Schritt 1.2.5.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{6}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 16 - (\sqrt{6})}{10}$

Schritt 1.2.5.2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (16) - (\sqrt{6})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (16 + \sqrt{6})}{10}$

Schritt 1.2.5.2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Schritt 1.2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x + 1) (10 x^{2} + 32 x + 25) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10}) \cup (- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10}) \cup (- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f'' (- 4) = 20 {(- 4)}^{3} + 84 {(- 4)}^{2} + 114 (- 4) + 50$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$f'' (- 4) = 20 \cdot - 64 + 84 {(- 4)}^{2} + 114 (- 4) + 50$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 84 {(- 4)}^{2} + 114 (- 4) + 50$

Schritt 4.2.1.3

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 84 \cdot 16 + 114 (- 4) + 50$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $84$ mit $16$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 1344 + 114 (- 4) + 50$

Schritt 4.2.1.5

Mutltipliziere $114$ mit $- 4$ .

$f'' (- 4) = - 1280 + 1344 - 456 + 50$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Addiere $- 1280$ und $1344$ .

$f'' (- 4) = 64 - 456 + 50$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $456$ von $64$ .

$f'' (- 4) = - 392 + 50$

Schritt 4.2.2.3

Addiere $- 392$ und $50$ .

$f'' (- 4) = - 342$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 342$ .

$- 342$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10})$ konkav, weil $f'' (- 4)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.6$ .

$f'' (- 1.6) = 20 {(- 1.6)}^{3} + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Potenziere $- 1.6$ mit $3$ .

$f'' (- 1.6) = 20 \cdot - 4.096 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 4.096$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 {(- 1.6)}^{2} + 114 (- 1.6) + 50$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $- 1.6$ mit $2$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 84 \cdot 2.56 + 114 (- 1.6) + 50$

Schritt 5.2.1.4

Mutltipliziere $84$ mit $2.56$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 + 114 (- 1.6) + 50$

Schritt 5.2.1.5

Mutltipliziere $114$ mit $- 1.6$ .

$f'' (- 1.6) = - 81.92 + 215.04 - 182.4 + 50$

Schritt 5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Addiere $- 81.92$ und $215.04$ .

$f'' (- 1.6) = 133.12 - 182.4 + 50$

Schritt 5.2.2.2

Subtrahiere $182.4$ von $133.12$ .

$f'' (- 1.6) = - 49.28 + 50$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $- 49.28$ und $50$ .

$f'' (- 1.6) = 0.72$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $0.72$ .

$0.72$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10})$ konvex, weil $f'' (- 1.6)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.18$ .

$f'' (- 1.18) = 20 {(- 1.18)}^{3} + 84 {(- 1.18)}^{2} + 114 (- 1.18) + 50$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 1.18$ mit $3$ .

$f'' (- 1.18) = 20 \cdot - 1.643032 + 84 {(- 1.18)}^{2} + 114 (- 1.18) + 50$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $- 1.643032$ .

$f'' (- 1.18) = - 32.86064 + 84 {(- 1.18)}^{2} + 114 (- 1.18) + 50$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 1.18$ mit $2$ .

$f'' (- 1.18) = - 32.86064 + 84 \cdot 1.3924 + 114 (- 1.18) + 50$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $84$ mit $1.3924$ .

$f'' (- 1.18) = - 32.86064 + 116.9616 + 114 (- 1.18) + 50$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $114$ mit $- 1.18$ .

$f'' (- 1.18) = - 32.86064 + 116.9616 - 134.52 + 50$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 32.86064$ und $116.9616$ .

$f'' (- 1.18) = 84.10096 - 134.52 + 50$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $134.52$ von $84.10096$ .

$f'' (- 1.18) = - 50.41904 + 50$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $- 50.41904$ und $50$ .

$f'' (- 1.18) = - 0.41904$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.41904$ .

$- 0.41904$

Schritt 6.3

Der Graph ist im Intervall $(- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1)$ konkav, weil $f'' (- 1.18)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 7

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(- 1, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f'' (0) = 20 {(0)}^{3} + 84 {(0)}^{2} + 114 (0) + 50$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 20 \cdot 0 + 84 {(0)}^{2} + 114 (0) + 50$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $20$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 84 {(0)}^{2} + 114 (0) + 50$

Schritt 7.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f'' (0) = 0 + 84 \cdot 0 + 114 (0) + 50$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $84$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 114 (0) + 50$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $114$ mit $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 0 + 50$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 50$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f'' (0) = 0 + 50$

Schritt 7.2.2.3

Addiere $0$ und $50$ .

$f'' (0) = 50$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $50$ .

$50$

Schritt 7.3

Der Graph ist im Intervall $(- 1, \infty)$ konvex, weil $f'' (0)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(- 1, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 8

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(- \infty, - \frac{16 + \sqrt{6}}{10})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- \frac{16 + \sqrt{6}}{10}, - \frac{16 - \sqrt{6}}{10})$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Konkav im Intervall $(- \frac{16 - \sqrt{6}}{10}, - 1)$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(- 1, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 9