Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{(5 \ln (x))}{x}$

Schritt 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Schritt 1.1

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 \ln (x)}{x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x$ .

$5 \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$5 \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.1.4.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$5 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$5 \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.1.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$5 \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.4.4.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{5 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.5.2.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{5 + 5 (- \ln (x))}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.5.2.2

Multipliziere $5 (- \ln (x))$ .

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Schritt 1.1.1.5.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{5 - 5 \ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 1.1.1.5.2.2.2

Vereinfache $- 5 \ln (x)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$f' (x) = \frac{5 - \ln (x^{5})}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 1.1.2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - \ln (x^{5})] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - \ln (x^{5})] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 - \ln (x^{5})] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 - \ln (x^{5})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})]) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})]) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- \ln (x^{5})] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x^{5})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]$ .

$\frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} [\ln (x^{5})]) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{5}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{5}$ .

$\frac{x^{2} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}])) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{2} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{5}])) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{5}$ .

$\frac{x^{2} (- (\frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}])) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.1.2.4.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2}}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{5}$ .

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Schritt 1.1.2.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.4.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{- \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{5}] - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{- \frac{1}{x^{3}} (5 x^{4}) - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.2.4.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{- 5 \frac{1}{x^{3}} x^{4} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.4.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{\frac{- 5}{x^{3}} x^{4} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.4.3

Kombiniere $\frac{- 5}{x^{3}}$ und $x^{4}$ .

$\frac{\frac{- 5 x^{4}}{x^{3}} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{4}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 1.1.2.4.4.4.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $- 5 x^{4}$ heraus.

$\frac{\frac{x^{3} (- 5 x)}{x^{3}} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.4.4.4.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{\frac{x^{3} (- 5 x)}{x^{3} \cdot 1} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x^{3} (- 5 x)}{x^{3} \cdot 1} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{- 5 x}{1} - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.4.4.2.4

Dividiere $- 5 x$ durch $1$ .

$\frac{- 5 x - (5 - \ln (x^{5})) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{- 5 x - (5 - \ln (x^{5})) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1.2.4.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 5 x - 2 (5 - \ln (x^{5})) x}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.6.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x - 2 (5 - \ln (x^{5})) x$ heraus.

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Schritt 1.1.2.4.6.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{x \cdot - 5 - 2 (5 - \ln (x^{5})) x}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (5 - \ln (x^{5})) x$ heraus.

$\frac{x \cdot - 5 + x (- 2 (5 - \ln (x^{5})))}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4.6.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot - 5 + x (- 2 (5 - \ln (x^{5})))$ heraus.

$\frac{x (- 5 - 2 (5 - \ln (x^{5})))}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (- 5 - 2 (5 - \ln (x^{5})))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- 5 - 2 (5 - \ln (x^{5})))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 1.1.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 5 - 2 (5 - \ln (x^{5}))}{x^{3}}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 5 - 2 \cdot 5 - 2 (- \ln (x^{5}))}{x^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{- 5 - 10 - 2 (- \ln (x^{5}))}{x^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.2.1.2

Multipliziere $- 2 (- \ln (x^{5}))$ .

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Schritt 1.1.2.6.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{- 5 - 10 + 2 \ln (x^{5})}{x^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.2.1.2.2

Vereinfache $2 \ln (x^{5})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{- 5 - 10 + \ln ({(x^{5})}^{2})}{x^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.6.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 5 - 10 + \ln (x^{5 \cdot 2})}{x^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.2.1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{- 5 - 10 + \ln (x^{10})}{x^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.2.2

Subtrahiere $10$ von $- 5$ .

$\frac{- 15 + \ln (x^{10})}{x^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.3

Schreibe $- 15$ als $- 1 (15)$ um.

$\frac{- 1 (15) + \ln (x^{10})}{x^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (x^{10})$ heraus.

$\frac{- 1 (15) - 1 (- \ln (x^{10}))}{x^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (15) - 1 (- \ln (x^{10}))$ heraus.

$\frac{- 1 (15 - \ln (x^{10}))}{x^{3}}$

Schritt 1.1.2.6.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}}$

Schritt 1.1.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}}$ .

$- \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}}$

Schritt 1.2

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}} = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{15 - \ln (x^{10})}{x^{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$15 - \ln (x^{10}) = 0$

Schritt 1.2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.1

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (x^{10}) = - 15$

Schritt 1.2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (x^{10}) = - 15$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (x^{10}) = - 15$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{10})}{- 1} = \frac{- 15}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (x^{10})}{1} = \frac{- 15}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Dividiere $\ln (x^{10})$ durch $1$ .

$\ln (x^{10}) = \frac{- 15}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Dividiere $- 15$ durch $- 1$ .

$\ln (x^{10}) = 15$

Schritt 1.2.3.3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{10})} = e^{15}$

Schritt 1.2.3.4

Schreibe $\ln (x^{10}) = 15$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{15} = x^{10}$

Schritt 1.2.3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{10} = e^{15}$ um.

$x^{10} = e^{15}$

Schritt 1.2.3.5.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt[10]{e^{15}}$

Schritt 1.2.3.5.3

Vereinfache $\pm \sqrt[10]{e^{15}}$ .

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Schritt 1.2.3.5.3.1

Faktorisiere $e^{10}$ aus.

$x = \pm \sqrt[10]{e^{10} e^{5}}$

Schritt 1.2.3.5.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm e \sqrt[10]{e^{5}}$

Schritt 1.2.3.5.3.3

Schreibe $\sqrt[10]{e^{5}}$ als $\sqrt{\sqrt[5]{e^{5}}}$ um.

$x = \pm e \sqrt{\sqrt[5]{e^{5}}}$

Schritt 1.2.3.5.3.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = \pm e \sqrt{e}$

Schritt 1.2.3.5.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.3.5.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = e \sqrt{e}$

Schritt 1.2.3.5.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - e \sqrt{e}$

Schritt 1.2.3.5.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = e \sqrt{e}, - e \sqrt{e}$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = \frac{5 \ln (x)}{x}$ .

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Schritt 2.1

Setze das Argument in $\ln (x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x > 0$

Schritt 2.2

Setze den Nenner in $\frac{5 \ln (x)}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Schritt 3

Erzeuge Intervalle um die $x$ -Werte, wo die 2. Ableitung 0 ist oder nicht definiert ist.

$(0, e \sqrt{e}) \cup (e \sqrt{e}, \infty)$

Schritt 4

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(0, e \sqrt{e})$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f'' (2) = - \frac{15 - \ln ({(2)}^{10})}{{(2)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $2$ mit $10$ .

$f'' (2) = - \frac{15 - \ln (1024)}{2^{3}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f'' (2) = - \frac{15 - \ln (1024)}{8}$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{15 - \ln (1024)}{8}$ .

$- \frac{15 - \ln (1024)}{8}$

Schritt 4.3

Der Graph ist im Intervall $(0, e \sqrt{e})$ konkav, weil $f'' (2)$ negativ ist.

Konkav im Intervall $(0, e \sqrt{e})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Schritt 5

Setze eine beliebige Zahl aus dem Intervall $(e \sqrt{e}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein und berechne, um die Konkavität zu bestimmen.

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f'' (7) = - \frac{15 - \ln ({(7)}^{10})}{{(7)}^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $7$ mit $10$ .

$f'' (7) = - \frac{15 - \ln (282475249)}{7^{3}}$

Schritt 5.2.2

Potenziere $7$ mit $3$ .

$f'' (7) = - \frac{15 - \ln (282475249)}{343}$

Schritt 5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{15 - \ln (282475249)}{343}$ .

$- \frac{15 - \ln (282475249)}{343}$

Schritt 5.3

Der Graph ist im Intervall $(e \sqrt{e}, \infty)$ konvex, weil $f'' (7)$ positiv ist.

Konvex im Intervall $(e \sqrt{e}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 6

Der Graph ist konvex, wenn die zweite Ableitung negativ ist und konkav, wenn die zweite Ableitung positiv ist.

Konkav im Intervall $(0, e \sqrt{e})$ , da $f'' (x)$ negativ ist

Konvex im Intervall $(e \sqrt{e}, \infty)$ , da $f'' (x)$ positiv ist

Schritt 7