Analysis Beispiele

$\int_{- x}^{x} (t^{2} + t) d t$

Schritt 1

Teile das Integral in zwei Integrale auf, wobei $c$ ein Wert zwischen $- x$ und $x$ ist.

$\frac{d}{d x} [\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t + \int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t + \int_{c}^{x} t^{2} + t d t$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{- x}^{c} t^{2} + t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Schritt 3

Vertausche die Grenzen der Integration.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{- x} t^{2} + t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Schritt 4

Nehme die Ableitung von $- \int_{c}^{- x} t^{2} + t d t$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$\frac{d}{d x} [- x] (- ({(- x)}^{2} - x)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] (- ({(- x)}^{2} - x)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 (- ({(- x)}^{2} - x)) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- - ({(- x)}^{2} - x) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{x} t^{2} + t d t]$

Schritt 6

Nehme die Ableitung von $\int_{c}^{x} t^{2} + t d t$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis.

$- - ({(- x)}^{2} - x) + x^{2} + x$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- - ({(- (x))}^{2} - x) + x^{2} + x$

Schritt 7.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.1

Wende die Produktregel auf $- (x)$ an.

$- - ({(- 1)}^{2} x^{2} - x) + x^{2} + x$

Schritt 7.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- - (1 x^{2} - x) + x^{2} + x$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$- - (x^{2} - x) + x^{2} + x$

Schritt 7.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (x^{2} - x) + x^{2} + x$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $x^{2} - x$ mit $1$ .

$x^{2} - x + x^{2} + x$

Schritt 7.3

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$2 x^{2} - x + x$

Schritt 7.4

Addiere $- x$ und $x$ .

$2 x^{2} + 0$

Schritt 7.5

Addiere $2 x^{2}$ und $0$ .

$2 x^{2}$