Analysis Beispiele

$y = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Schreibe $y = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ als Funktion.

$f (x) = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{1}{3}}] + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = 12 - x$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $12 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $12 - x$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{3} {(12 - x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(12 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x (\frac{{(12 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.7.3

Bringe ${(12 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.7.4

Kombiniere $\frac{1}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [12 - x] + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.9

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} (- 1 \cdot 1) + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} \cdot - 1 + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.13.2

Kombiniere $\frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ und $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.13.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.13.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.13.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{- x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.13.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1$

Schritt 2.1.15

Mutltipliziere ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2.1.16

Um ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.17

Kombiniere ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(12 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.19

Multipliziere ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.19.1

Bewege ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{2}{3}} {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.19.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.19.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.19.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- x + {(12 - x)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.19.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{- x + {(12 - x)}^{1} \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.20

Vereinfache ${(12 - x)}^{1} \cdot 3$ .

$\frac{- x + (12 - x) \cdot 3}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.21

Bringe $3$ auf die linke Seite von $12 - x$ .

$\frac{- x + 3 \cdot (12 - x)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.22

Vereinfache.

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Schritt 2.1.22.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x + 3 \cdot 12 + 3 (- x)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.22.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.22.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.22.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$\frac{- x + 36 + 3 (- x)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.22.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- x + 36 - 3 x}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.22.2.2

Subtrahiere $3 x$ von $- x$ .

$\frac{- 4 x + 36}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.22.3

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x + 36$ heraus.

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Schritt 2.1.22.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{4 (- x) + 36}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.22.3.2

Faktorisiere $4$ aus $36$ heraus.

$\frac{4 (- x) + 4 (9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.22.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x) + 4 (9)$ heraus.

$\frac{4 (- x + 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.22.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{4 (- (x) + 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.22.5

Schreibe $9$ als $- 1 (- 9)$ um.

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 9))}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.22.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 9)$ heraus.

$\frac{4 (- (x - 9))}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.22.7

Schreibe $- (x - 9)$ als $- 1 (x - 9)$ um.

$\frac{4 (- 1 (x - 9))}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.22.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{4 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Da $- \frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x - 9}{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x - 9}{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 9$ und $g (x) = {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 9] - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{({(12 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere.

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Schritt 2.2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(12 - x)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 9] - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3.1.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $2$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 9] - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 9] - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.3.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (1 + 0) - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot 1 - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.3.5.2

Mutltipliziere ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ mit $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{\frac{2}{3}}]}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = 12 - x$ .

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Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $12 - x$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $12 - x$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.8.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.9

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.9.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3} {(12 - x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.9.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(12 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2 {(12 - x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.9.3

Bringe ${(12 - x)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [12 - x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.11

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.12

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- x])}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.13

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} - (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.14

Multipliziere.

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Schritt 2.2.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + 1 (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.14.2

Mutltipliziere $x - 9$ mit $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) (\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.16

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.16.1

Mutltipliziere $x - 9$ mit $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.16.2

Mutltipliziere $\frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ mit $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}) \cdot 4}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Schritt 2.2.16.3

Stelle um.

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Schritt 2.2.16.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 \cdot ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{{(12 - x)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Schritt 2.2.16.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von ${(12 - x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 \cdot {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17

Vereinfache.

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Schritt 2.2.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{4 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 ((x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.17.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + 4 (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ heraus.

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Schritt 2.2.17.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ heraus.

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 4 ((x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})$ heraus.

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + (x - 9) \frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.2

Mutltipliziere $x - 9$ mit $\frac{2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{(x - 9) \cdot 2}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 9$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 \cdot (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.4

Um ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 ({(12 - x)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.5

Kombiniere ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ und $\frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 (\frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}})}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{4 \frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.7

Schreibe $\frac{{(12 - x)}^{\frac{2}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.2.17.2.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{2}{3}} {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.7.2

Multipliziere ${(12 - x)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.17.2.7.2.1

Bewege ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4 \frac{3 ({(12 - x)}^{\frac{1}{3}} {(12 - x)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.7.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.7.2.4

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{\frac{3}{3}} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.7.2.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$- \frac{4 \frac{3 {(12 - x)}^{1} + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.7.3

Vereinfache $3 {(12 - x)}^{1}$ .

$- \frac{4 \frac{3 (12 - x) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{4 \frac{3 \cdot 12 + 3 (- x) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.7.5

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$- \frac{4 \frac{36 + 3 (- x) + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.7.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{4 \frac{36 - 3 x + 2 (x - 9)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.7.7

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{4 \frac{36 - 3 x + 2 x + 2 \cdot - 9}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.7.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 9$ .

$- \frac{4 \frac{36 - 3 x + 2 x - 18}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.7.9

Subtrahiere $18$ von $36$ .

$- \frac{4 \frac{- 3 x + 2 x + 18}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.2.7.10

Addiere $- 3 x$ und $2 x$ .

$- \frac{4 \frac{- x + 18}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.2.17.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{- x + 18}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{\frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.3.2

Schreibe $\frac{\frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ als ein Produkt um.

$- (\frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}})$

Schritt 2.2.17.3.3

Mutltipliziere $\frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{1}{3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{4 (- x + 18)}{3 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} (3 {(12 - x)}^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.17.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{1}{3}} {(12 - x)}^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.17.3.5

Multipliziere ${(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(12 - x)}^{\frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.17.3.5.1

Bewege ${(12 - x)}^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 ({(12 - x)}^{\frac{4}{3}} {(12 - x)}^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 2.2.17.3.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Schritt 2.2.17.3.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Schritt 2.2.17.3.5.4

Addiere $4$ und $1$ .

$- \frac{4 (- x + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.17.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- \frac{4 (- (x) + 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.17.5

Schreibe $18$ als $- 1 (- 18)$ um.

$- \frac{4 (- (x) - 1 (- 18))}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.17.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 18)$ heraus.

$- \frac{4 (- (x - 18))}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.17.7

Schreibe $- (x - 18)$ als $- 1 (x - 18)$ um.

$- \frac{4 (- 1 (x - 18))}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.17.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.17.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.17.10

Mutltipliziere $\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 (x - 18)}{9 {(12 - x)}^{\frac{5}{3}}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 (x - 18) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x - 18) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x - 18) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (x - 18)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x - 18)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 3.3.1.2.1.2

Dividiere $x - 18$ durch $1$ .

$x - 18 = \frac{0}{4}$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x - 18 = 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 18$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $18$ in $f (x) = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $18$ .

$f (18) = (18) {(12 - (18))}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $18$ .

$f (18) = 18 {(12 - 18)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $18$ von $12$ .

$f (18) = 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $18$ in $f (x) = x {(12 - x)}^{\frac{1}{3}}$ ermittelt werden kann, ist $(18, 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(18, 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 18) \cup (18, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 18)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $17.9$ .

$f'' (17.9) = \frac{4 ((17.9) - 18)}{9 {(12 - (17.9))}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Subtrahiere $18$ von $17.9$ .

$f'' (17.9) = \frac{4 \cdot - 0.1}{9 {(12 - (17.9))}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $17.9$ .

$f'' (17.9) = \frac{4 \cdot - 0.1}{9 {(12 - 17.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $17.9$ von $12$ .

$f'' (17.9) = \frac{4 \cdot - 0.1}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.1$ .

$f'' (17.9) = \frac{- 0.4}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 6.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (17.9) = - \frac{0.4}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{0.4}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$- \frac{0.4}{9 {(- 5.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 6.3

Bei $17.9$ ist die zweite Ableitung $0.00230708$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 18)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 18)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(18, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $18.1$ .

$f'' (18.1) = \frac{4 ((18.1) - 18)}{9 {(12 - (18.1))}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Subtrahiere $18$ von $18.1$ .

$f'' (18.1) = \frac{4 \cdot 0.1}{9 {(12 - (18.1))}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $18.1$ .

$f'' (18.1) = \frac{4 \cdot 0.1}{9 {(12 - 18.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $18.1$ von $12$ .

$f'' (18.1) = \frac{4 \cdot 0.1}{9 {(- 6.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $0.1$ .

$f'' (18.1) = \frac{0.4}{9 {(- 6.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{0.4}{9 {(- 6.1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{0.4}{9 {(- 6.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 7.3

Bei $18.1$ , die zweite Ableitung ist $- 0.0021824$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(18, \infty)$

Abfallend im Intervall $(18, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(18, 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}})$ .

$(18, 18 {(- 6)}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 9