Analysis Beispiele

$4 x^{2} + y^{2} + 4 z^{2} - 4 y - 24 z + 36 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 4 z^{2} - 4 y - 24 z + 36 = - y^{2}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $4 z^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 4 y - 24 z + 36 = - y^{2} - 4 z^{2}$

Schritt 1.3

Addiere $4 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 24 z + 36 = - y^{2} - 4 z^{2} + 4 y$

Schritt 1.4

Addiere $24 z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 36 = - y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z$

Schritt 1.5

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} = - y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = - y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x^{2} = - y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36$ durch $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{- 4 z^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{24 z}{4} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{- 4 z^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{24 z}{4} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{- 4 z^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{24 z}{4} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{- 4 z^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{24 z}{4} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 z^{2}$ heraus.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (- z^{2})}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{24 z}{4} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (- z^{2})}{4 (1)} + \frac{4 y}{4} + \frac{24 z}{4} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (- z^{2})}{4 \cdot 1} + \frac{4 y}{4} + \frac{24 z}{4} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{- z^{2}}{1} + \frac{4 y}{4} + \frac{24 z}{4} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 2.3.1.2.2.4

Dividiere $- z^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} - z^{2} + \frac{4 y}{4} + \frac{24 z}{4} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} - z^{2} + \frac{4 y}{4} + \frac{24 z}{4} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 2.3.1.3.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} - z^{2} + y + \frac{24 z}{4} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24$ und $4$ .

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Schritt 2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $24 z$ heraus.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} - z^{2} + y + \frac{4 (6 z)}{4} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 2.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} - z^{2} + y + \frac{4 (6 z)}{4 (1)} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 2.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} - z^{2} + y + \frac{4 (6 z)}{4 \cdot 1} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 2.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} - z^{2} + y + \frac{6 z}{1} + \frac{- 36}{4}$

Schritt 2.3.1.4.2.4

Dividiere $6 z$ durch $1$ .

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} - z^{2} + y + 6 z + \frac{- 36}{4}$

Schritt 2.3.1.5

Dividiere $- 36$ durch $4$ .

$x^{2} = - \frac{y^{2}}{4} - z^{2} + y + 6 z - 9$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} - z^{2} + y + 6 z - 9}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} - z^{2} + y + 6 z - 9}$ .

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Schritt 4.1

Um $- z^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} - z^{2} \cdot \frac{4}{4} + y + 6 z - 9}$

Schritt 4.2

Kombiniere $- z^{2}$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- \frac{y^{2}}{4} + \frac{- z^{2} \cdot 4}{4} + y + 6 z - 9}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} - z^{2} \cdot 4}{4} + y + 6 z - 9}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} - 4 z^{2}}{4} + y + 6 z - 9}$

Schritt 4.5

Um $y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} - 4 z^{2}}{4} + y \cdot \frac{4}{4} + 6 z - 9}$

Schritt 4.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.6.1

Kombiniere $y$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} - 4 z^{2}}{4} + \frac{y \cdot 4}{4} + 6 z - 9}$

Schritt 4.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} - 4 z^{2} + y \cdot 4}{4} + 6 z - 9}$

Schritt 4.7

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y}{4} + 6 z - 9}$

Schritt 4.8

Um $6 z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y}{4} + 6 z \cdot \frac{4}{4} - 9}$

Schritt 4.9

Kombiniere $6 z$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y}{4} + \frac{6 z \cdot 4}{4} - 9}$

Schritt 4.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 6 z \cdot 4}{4} - 9}$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z}{4} - 9}$

Schritt 4.12

Um $- 9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 4.13

Kombiniere $- 9$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}}$

Schritt 4.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 9 \cdot 4}{4}}$

Schritt 4.15

Mutltipliziere $- 9$ mit $4$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36}{4}}$

Schritt 4.16

Schreibe $\frac{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36)$ um.

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Schritt 4.16.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36)}{4}}$

Schritt 4.16.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$x = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36)}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 4.16.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36)}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$x = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36)}$

Schritt 4.17

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36}$

Schritt 4.18

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36}}{2}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36}}{2}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36}}{2}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36}}{2}$

$x = - \frac{\sqrt{- y^{2} - 4 z^{2} + 4 y + 24 z - 36}}{2}$