Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1}{x} \sec (x)$

Schritt 1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen rechtsseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{x} \sec (x)$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sec (x)$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} x} \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sec (x)$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{π}{2}$ annähert.

$\frac{1}{lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} x} \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sec (x)$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{π}{2}$ für $x$ .

$\frac{1}{\frac{π}{2}} \cdot lim_{x \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sec (x)$

Schritt 4

Wenn sich die $x$ -Werte von rechts an $\frac{π}{2}$ annähern, nehmen die Funktionswerte ohne Schranke ab.

$\frac{1}{\frac{π}{2}} \cdot - \infty$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{2}{π} \cdot - \infty$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{2}{π}$ mit $1$ .

$\frac{2}{π} \cdot - \infty$

Schritt 5.3

Eine Konstante ungleich Null multipliziert mit Unendlich ergibt Unendlich.

$- \infty$