Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \sqrt{49 x^{2} + x} - 7 x$

Schritt 1

Wandle den zweiseitigen Grenzwert in einen rechtsseitigen Grenzwert um.

$lim_{x \to \infty^{+}} \sqrt{49 x^{2} + x} - 7 x$

Schritt 2

Multipliziere, um den Zähler zu rationalisieren.

$lim_{x \to \infty^{+}} \frac{(\sqrt{49 x^{2} + x} - 7 x) (\sqrt{49 x^{2} + x} + 7 x)}{\sqrt{49 x^{2} + x} + 7 x}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler unter Verwendung der FOIL-Methode aus.

$lim_{x \to \infty^{+}} \frac{{\sqrt{49 x^{2} + x}}^{2} + \sqrt{49 x^{2} + x} (7 x) + \sqrt{49 x^{2} + x} (- 7 x) - 49 x^{2}}{\sqrt{49 x^{2} + x} + 7 x}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $49 x^{2}$ von $49 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty^{+}} \frac{x + 0}{\sqrt{49 x^{2} + x} + 7 x}$

Schritt 3.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$lim_{x \to \infty^{+}} \frac{x}{\sqrt{49 x^{2} + x} + 7 x}$

Schritt 4

Faktorisiere $x$ aus $49 x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $49 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty^{+}} \frac{x}{\sqrt{x (49 x) + x} + 7 x}$

Schritt 4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$lim_{x \to \infty^{+}} \frac{x}{\sqrt{x (49 x) + x^{1}} + 7 x}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$lim_{x \to \infty^{+}} \frac{x}{\sqrt{x (49 x) + x \cdot 1} + 7 x}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $x$ aus $x (49 x) + x \cdot 1$ heraus.

$lim_{x \to \infty^{+}} \frac{x}{\sqrt{x (49 x + 1)} + 7 x}$

Schritt 5

Da es keine Werte rechts von $\infty$ im Definitionsbereich von $\frac{x}{\sqrt{x (49 x + 1)} + 7 x}$ gibt, existiert der Grenzwert nicht.

$Existiert nicht$