Analysis Beispiele

$f (x) = | x^{2} - 100 |$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x^{2} - 100$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 100$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 100$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 100$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100]$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 100])$

Schritt 1.2.3

Da $- 100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 100$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (2 x + 0)$

Schritt 1.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (2 x)$

Schritt 1.2.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |} x$

Schritt 1.2.4.3

Kombiniere $\frac{2 (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |}$ und $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 100) x}{| x^{2} - 100 |}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 100) x}{| x^{2} - 100 |}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.3.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Schritt 1.3.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Schritt 1.3.3.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Schritt 1.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 100$ .

$\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x^{3} - 200 x$ und $g (x) = | x^{2} - 100 |$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | \frac{d}{d x} (2 x^{3} - 200 x) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{3} - 200 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 200 x]$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (\frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 200 x)) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 200 x)) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 200 x)) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 200 x)) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.2.5

Da $- 200$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 200 x$ nach $x$ gleich $- 200 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200 \frac{d}{d x} x) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200 \cdot 1) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $- 200$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{d}{d x} | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x^{2} - 100$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 100$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x^{2} - 100))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 100))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 100$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 100))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 100$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100]$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 100)))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 100)))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.4.3

Da $- 100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 100$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \cdot (2 x + 0))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.4.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \cdot (2 x))}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.4.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) (\frac{2 (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |} \cdot x)}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.4.4.3

Kombiniere $\frac{2 (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) - (2 x^{3} - 200 x) \frac{2 (x^{2} - 100) x}{| x^{2} - 100 |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 (x^{2} - 100) x}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 100) x}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2} - 200) + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{| x^{2} - 100 | (6 x^{2}) + | x^{2} - 100 | \cdot - 200 + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} + | x^{2} - 100 | \cdot - 200 + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.3

Bringe $- 200$ auf die linke Seite von $| x^{2} - 100 |$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 \cdot | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.1.4.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.4.1.4.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.5.4.1.4.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.4.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 100 x)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 100$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.4.3

Schreibe $2 x^{3} - 200 x$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.5.4.1.4.3.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3} - 200 x$ heraus.

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Schritt 2.5.4.1.4.3.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x^{2}) - 200 x}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.4.3.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 200 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (- 100)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.4.3.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{2}) + 2 x (- 100)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.4.3.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x^{2} - 10^{2})}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.4.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 10$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.4.1.5.1

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x^{2} - 10^{2} |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 10$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.5.3

Multipliziere $(x + 10) (x - 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.4.1.5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x (x - 10) + 10 (x - 10) |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 (x - 10) |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.5.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10$ .

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Schritt 2.5.4.1.5.4.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 10$ und $10 x$ neu an.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x \cdot x - 10 x + 10 x + 10 \cdot - 10 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.5.4.2

Addiere $- 10 x$ und $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x \cdot x + 0 + 10 \cdot - 10 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.5.4.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x \cdot x + 10 \cdot - 10 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.5.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.4.1.5.5.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x^{2} + 10 \cdot - 10 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.5.5.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x^{2} - 100 |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.5.6

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| x^{2} - 10^{2} |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.5.7

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 10$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- (2 x^{3}) - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- 2 x^{3} - (- 200 x)) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.6.2

Mutltipliziere $- 200$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + (- 2 x^{3} + 200 x) (\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |})}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.7

Mutltipliziere $- 2 x^{3} + 200 x$ mit $\frac{2 x (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{(- 2 x^{3} + 200 x) (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.1.8.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{3} + 200 x$ heraus.

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Schritt 2.5.4.1.8.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{(2 x (- x^{2}) + 200 x) \cdot (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $200 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{(2 x (- x^{2}) + 2 x (100)) \cdot (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (- x^{2}) + 2 x (100)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{2 x (- x^{2} + 100) \cdot (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{2 x (- x^{2} + 10^{2}) \cdot (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.3

Stelle $- x^{2}$ und $10^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{2 x (10^{2} - x^{2}) \cdot (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 10$ und $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{2 x (10 + x) (10 - x) \cdot (2 x (x + 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.5.4.1.8.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x (10 + x) (10 - x) x (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 (x \cdot x) (10 + x) (10 - x) (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 (x \cdot x) (10 + x) (10 - x) (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{1 + 1} (10 + x) (10 - x) (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} (10 + x) (10 - x) (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5.6

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} (x + 10) (10 - x) (x + 10) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5.7

Potenziere $x + 10$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} ((x + 10) (x + 10)) (10 - x) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5.8

Potenziere $x + 10$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} ((x + 10) (x + 10)) (10 - x) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{1 + 1} (10 - x) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5.10

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} (10 - x) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5.11

Schreibe $10$ als $- 1 (- 10)$ um.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} (- 1 \cdot - 10 - x) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} (- 1 \cdot - 10 - (x)) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 10) - (x)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} (- 1 (- 10 + x)) (x - 10)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5.14

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} \cdot (- 1 (x - 10) (x - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5.15

Potenziere $x - 10$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} \cdot (- 1 ((x - 10) (x - 10)))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5.16

Potenziere $x - 10$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} \cdot (- 1 ((x - 10) (x - 10)))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} \cdot (- 1 {(x - 10)}^{1 + 1})}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5.18

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} \cdot (- 1 {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.8.5.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | + \frac{- 4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} - 200 | x^{2} - 100 | - \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.2

Um $6 | x^{2} - 100 | x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} | (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |} - \frac{4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{6 | x^{2} - 100 | x^{2} | (x + 10) (x - 10) | - 4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1.1

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $6 | x^{2} - 100 | x^{2} | (x + 10) (x - 10) | - 4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1.1.1

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $6 | x^{2} - 100 | x^{2} | (x + 10) (x - 10) |$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |) - 4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.1.2

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $- 4 x^{2} {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |) + 2 x^{2} (- 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.1.3

Faktorisiere $2 x^{2}$ aus $2 x^{2} (3 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |) + 2 x^{2} (- 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.2

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x + 10) (x - 10) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.4.4.1.3.1

Multipliziere $(x + 10) (x - 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.4.4.1.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x (x - 10) + 10 (x - 10)) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 (x - 10)) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10$ .

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Schritt 2.5.4.4.1.3.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 10$ und $10 x$ neu an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x - 10 x + 10 x + 10 \cdot - 10) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.2.2

Addiere $- 10 x$ und $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x + 0 + 10 \cdot - 10) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.2.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x \cdot x + 10 \cdot - 10) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.4.4.1.3.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x^{2} + 10 \cdot - 10) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.3.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | (x^{2} - 100) (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.4

Multipliziere $(x^{2} - 100) (x^{2} - 100)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.4.4.1.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} (x^{2} - 100) - 100 (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 100 - 100 (x^{2} - 100) | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 100 - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1.3.5.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1.3.5.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 100 - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.5.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} + x^{2} \cdot - 100 - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.5.1.2

Bringe $- 100$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 100 \cdot x^{2} - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.5.1.3

Mutltipliziere $- 100$ mit $- 100$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 100 x^{2} - 100 x^{2} + 10000 | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.5.2

Subtrahiere $100 x^{2}$ von $- 100 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 {(x + 10)}^{2} {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.6

Schreibe ${(x + 10)}^{2}$ als $(x + 10) (x + 10)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 ((x + 10) (x + 10)) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.7

Multipliziere $(x + 10) (x + 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x (x + 10) + 10 (x + 10)) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x \cdot x + x \cdot 10 + 10 (x + 10)) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x \cdot x + x \cdot 10 + 10 x + 10 \cdot 10) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1.3.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1.3.8.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x^{2} + x \cdot 10 + 10 x + 10 \cdot 10) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.8.1.2

Bringe $10$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x^{2} + 10 \cdot x + 10 x + 10 \cdot 10) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.8.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x^{2} + 10 x + 10 x + 100) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.8.2

Addiere $10 x$ und $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x^{2} + 20 x + 100) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 2 (20 x) - 2 \cdot 100) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.10

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1.3.10.1

Mutltipliziere $20$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 2 \cdot 100) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.10.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $100$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) {(x - 10)}^{2})}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.11

Schreibe ${(x - 10)}^{2}$ als $(x - 10) (x - 10)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) ((x - 10) (x - 10)))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.12

Multipliziere $(x - 10) (x - 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1.3.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x (x - 10) - 10 (x - 10)))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 (x - 10)))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x \cdot x + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1.3.13.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1.3.13.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x^{2} + x \cdot - 10 - 10 x - 10 \cdot - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.13.1.2

Bringe $- 10$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x^{2} - 10 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 10))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.13.1.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x^{2} - 10 x - 10 x + 100))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.13.2

Subtrahiere $10 x$ von $- 10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + (- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x^{2} - 20 x + 100))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.14

Multipliziere $(- 2 x^{2} - 40 x - 200) (x^{2} - 20 x + 100)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{2} x^{2} - 2 x^{2} (- 20 x) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 (x^{2} x^{2}) - 2 x^{2} (- 20 x) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{2 + 2} - 2 x^{2} (- 20 x) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 2 x^{2} (- 20 x) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 20 x^{2} x) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.3.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 20 (x \cdot x^{2})) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 20 x^{1 + 2}) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 2 \cdot (- 20 x^{3}) - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 20$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 100 - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.5

Mutltipliziere $100$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x \cdot x^{2} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.6

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 (x^{2} x) - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.6.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{2 + 1} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} - 40 x (- 20 x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} - 40 \cdot (- 20 x \cdot x) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.4.4.1.3.15.8.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} - 40 \cdot (- 20 (x \cdot x)) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} - 40 \cdot (- 20 x^{2}) - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.9

Mutltipliziere $- 40$ mit $- 20$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} + 800 x^{2} - 40 x \cdot 100 - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.10

Mutltipliziere $100$ mit $- 40$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} + 800 x^{2} - 4000 x - 200 x^{2} - 200 (- 20 x) - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.11

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 200$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} + 800 x^{2} - 4000 x - 200 x^{2} + 4000 x - 200 \cdot 100)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.15.12

Mutltipliziere $- 200$ mit $100$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} + 800 x^{2} - 4000 x - 200 x^{2} + 4000 x - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.16

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 x^{4} + 40 x^{3} - 200 x^{2} - 40 x^{3} + 800 x^{2} - 4000 x - 200 x^{2} + 4000 x - 20000$ .

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Schritt 2.5.4.4.1.3.16.1

Subtrahiere $40 x^{3}$ von $40 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 200 x^{2} + 0 + 800 x^{2} - 4000 x - 200 x^{2} + 4000 x - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.16.2

Addiere $- 2 x^{4} - 200 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 200 x^{2} + 800 x^{2} - 4000 x - 200 x^{2} + 4000 x - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.16.3

Addiere $- 4000 x$ und $4000 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 200 x^{2} + 800 x^{2} - 200 x^{2} + 0 - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.16.4

Addiere $- 2 x^{4} - 200 x^{2} + 800 x^{2} - 200 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} - 200 x^{2} + 800 x^{2} - 200 x^{2} - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.17

Addiere $- 200 x^{2}$ und $800 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 600 x^{2} - 200 x^{2} - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.3.18

Subtrahiere $200 x^{2}$ von $600 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 2 x^{4} + 400 x^{2} - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 2 x^{4} + 400 x^{2} + 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 20000)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.5

Schreibe $- 2 x^{4} + 400 x^{2} + 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 20000$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 2.5.4.4.1.5.1

Gruppiere die Terme um.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 20000 - 2 x^{4} + 400 x^{2} + 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.5.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{4} + 400 x^{2} + 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |$ heraus.

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Schritt 2.5.4.4.1.5.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 20000 - (2 x^{4}) + 400 x^{2} + 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.5.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $400 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 20000 - (2 x^{4}) - (- 400 x^{2}) + 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.5.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 20000 - (2 x^{4}) - (- 400 x^{2}) - (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.5.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{4}) - (- 400 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 20000 - (2 x^{4} - 400 x^{2}) - (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.5.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{4} - 400 x^{2}) - (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 20000 - (2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 20000 - (2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ heraus.

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Schritt 2.5.4.4.1.5.3.1

Schreibe $- 20000$ als $- 1 (20000)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 1 \cdot 20000 - (2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.5.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (20000) - (2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- 1 (20000 + 2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.5.3.3

Schreibe $- 1 (20000 + 2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ als $- (20000 + 2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- (20000 + 2 x^{4} - 400 x^{2} - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.5.4

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} (- (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x^{2} \cdot (- 1 (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.5.4.4.1.6.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{- (2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 2 (x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 |}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.5

Um $- 200 | x^{2} - 100 |$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} - 200 | x^{2} - 100 | \cdot \frac{| (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.6

Kombiniere $- 200 | x^{2} - 100 |$ und $\frac{| (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} + \frac{- 200 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 200 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 200 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |$ heraus.

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Schritt 2.5.4.8.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)) - 200 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 200 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)) + 2 (- 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)) + 2 (- 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- x^{2} (2 x^{4} - 400 x^{2} + 20000 - 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- x^{2} (2 x^{4}) - x^{2} (- 400 x^{2}) - x^{2} \cdot 20000 - x^{2} (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.4.8.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - x^{2} (- 400 x^{2}) - x^{2} \cdot 20000 - x^{2} (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 20000 - x^{2} (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.3.3

Mutltipliziere $20000$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - 20000 x^{2} - x^{2} (- 3 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{2} x^{4}) - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.4.8.4.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.4.8.4.1.1

Bewege $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 (x^{4} x^{2})) - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{4 + 2}) - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.4.1.3

Addiere $4$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 \cdot (2 x^{6}) - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 400 x^{2} x^{2}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.4.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.4.8.4.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 400 (x^{2} x^{2})) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 400 x^{2 + 2}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.4.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} - 1 \cdot (- 400 x^{4}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 400$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | (x + 10) (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.5

Multipliziere $(x + 10) (x - 10)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.4.8.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x (x - 10) + 10 (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 (x - 10) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x \cdot x + x \cdot - 10 + 10 x + 10 \cdot - 10$ .

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Schritt 2.5.4.8.6.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x \cdot - 10$ und $10 x$ neu an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x \cdot x - 10 x + 10 x + 10 \cdot - 10 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.6.2

Addiere $- 10 x$ und $10 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x \cdot x + 0 + 10 \cdot - 10 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.6.3

Addiere $x \cdot x$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x \cdot x + 10 \cdot - 10 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.4.8.7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x^{2} + 10 \cdot - 10 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.7.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} - 100 | | x^{2} - 100 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.8

Multipliziere $- 100 | x^{2} - 100 | | x^{2} - 100 |$ .

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Schritt 2.5.4.8.8.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | (x^{2} - 100) (x^{2} - 100) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.8.2

Potenziere $x^{2} - 100$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | (x^{2} - 100) (x^{2} - 100) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.8.3

Potenziere $x^{2} - 100$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | (x^{2} - 100) (x^{2} - 100) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | {(x^{2} - 100)}^{1 + 1} |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | {(x^{2} - 100)}^{2} |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.9

Schreibe ${(x^{2} - 100)}^{2}$ als $(x^{2} - 100) (x^{2} - 100)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | (x^{2} - 100) (x^{2} - 100) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.10

Multipliziere $(x^{2} - 100) (x^{2} - 100)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.4.8.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} (x^{2} - 100) - 100 (x^{2} - 100) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 100 - 100 (x^{2} - 100) |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 100 - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.4.8.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.4.8.11.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.4.8.11.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 100 - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.11.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} + x^{2} \cdot - 100 - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.11.1.2

Bringe $- 100$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 100 \cdot x^{2} - 100 x^{2} - 100 \cdot - 100 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.11.1.3

Mutltipliziere $- 100$ mit $- 100$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 100 x^{2} - 100 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.8.11.2

Subtrahiere $100 x^{2}$ von $- 100 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 2 x^{6} + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{6}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6}) + 400 x^{4} - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.10

Faktorisiere $- 1$ aus $400 x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6}) - (- 400 x^{4}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{6}) - (- 400 x^{4})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4}) - 20000 x^{2} + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- 20000 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4}) - (20000 x^{2}) + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{6} - 400 x^{4}) - (20000 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2}) + 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.14

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2}) - (- 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.15

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2}) - (- 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.16

Faktorisiere $- 1$ aus $- 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - (100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.17

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |) - (100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.18

Schreibe $- (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ als $- 1 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)$ um.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (- 1 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |))}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.4.19

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.5.1

Schreibe $\frac{- \frac{2 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |} \cdot \frac{1}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$

Schritt 2.5.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{{| x^{2} - 100 |}^{2}}$ mit $\frac{2 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{| (x + 10) (x - 10) |}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (2 x^{6} - 400 x^{4} + 20000 x^{2} - 3 x^{2} | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 | + 100 | x^{4} - 200 x^{2} + 10000 |)}{{| x^{2} - 100 |}^{2} | (x + 10) (x - 10) |}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x^{2} - 100$ .

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Schritt 4.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 100$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]$

Schritt 4.1.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]$

Schritt 4.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 100$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 100]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 100$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100]$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100])$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 100])$

Schritt 4.1.2.3

Da $- 100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 100$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (2 x + 0)$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |} (2 x)$

Schritt 4.1.2.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2} - 100}{| x^{2} - 100 |}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |} x$

Schritt 4.1.2.4.3

Kombiniere $\frac{2 (x^{2} - 100)}{| x^{2} - 100 |}$ und $x$ .

$\frac{2 (x^{2} - 100) x}{| x^{2} - 100 |}$

Schritt 4.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 100) x}{| x^{2} - 100 |}$

Schritt 4.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Schritt 4.1.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.3.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.3.3.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Schritt 4.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 4.1.3.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Schritt 4.1.3.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Schritt 4.1.3.3.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 100 x}{| x^{2} - 100 |}$

Schritt 4.1.3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 100$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$ .

$\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x^{3} - 200 x = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3} - 200 x$ heraus.

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Schritt 5.3.1.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$2 x (x^{2}) - 200 x = 0$

Schritt 5.3.1.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 200 x$ heraus.

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 100) = 0$

Schritt 5.3.1.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x^{2}) + 2 x (- 100)$ heraus.

$2 x (x^{2} - 100) = 0$

Schritt 5.3.1.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$2 x (x^{2} - 10^{2}) = 0$

Schritt 5.3.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 5.3.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 10$ .

$2 x ((x + 10) (x - 10)) = 0$

Schritt 5.3.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x (x + 10) (x - 10) = 0$

Schritt 5.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 10 = 0$

$x - 10 = 0$

Schritt 5.3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.3.4

Setze $x + 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.4.1

Setze $x + 10$ gleich $0$ .

$x + 10 = 0$

Schritt 5.3.4.2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 10$

Schritt 5.3.5

Setze $x - 10$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.5.1

Setze $x - 10$ gleich $0$ .

$x - 10 = 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 10$

Schritt 5.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x + 10) (x - 10) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 10, 10$

Schritt 5.4

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |} = 0$ nicht erfüllen.

$x = 0$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| x^{2} - 100 | = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 100 = \pm 0$

Schritt 6.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x^{2} - 100 = 0$

Schritt 6.2.3

Addiere $100$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 100$

Schritt 6.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{100}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{100}$ .

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Schritt 6.2.5.1

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{10^{2}}$

Schritt 6.2.5.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 10$

Schritt 6.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 10$

Schritt 6.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 10$

Schritt 6.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 10, - 10$

Schritt 6.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 10, x = 10$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, - 10, 10$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2 (2 {(0)}^{6} - 400 {(0)}^{4} + 20000 {(0)}^{2} - 3 {(0)}^{2} | {(0)}^{4} - 200 {(0)}^{2} + 10000 | + 100 | {(0)}^{4} - 200 {(0)}^{2} + 10000 |)}{{| {(0)}^{2} - 100 |}^{2} | ((0) + 10) ((0) - 10) |}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 0 - 400 \cdot 0^{4} + 20000 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 - 400 \cdot 0^{4} + 20000 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 - 400 \cdot 0 + 20000 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $- 400$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 20000 \cdot 0^{2} - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 20000 \cdot 0 - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.6

Mutltipliziere $20000$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0^{2} | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 - 3 \cdot 0 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.9.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 - 200 \cdot 0^{2} + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.9.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 - 200 \cdot 0 + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.9.3

Mutltipliziere $- 200$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 + 0 + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.10

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 0 + 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.11

Addiere $0$ und $10000$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 | 10000 | + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.12

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $10000$ ist $10000$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 \cdot 10000 + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.13

Mutltipliziere $0$ mit $10000$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 | 0^{4} - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.14

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.14.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 | 0 - 200 \cdot 0^{2} + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.14.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 | 0 - 200 \cdot 0 + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.14.3

Mutltipliziere $- 200$ mit $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 | 0 + 0 + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.15

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 | 0 + 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.16

Addiere $0$ und $10000$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 | 10000 |)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.17

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $10000$ ist $10000$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 100 \cdot 10000)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.18

Mutltipliziere $100$ mit $10000$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 0 + 1000000)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.19

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 0 + 1000000)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.20

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 + 0 + 1000000)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.21

Addiere $0$ und $0$ .

$- \frac{2 (0 + 1000000)}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.1.22

Addiere $0$ und $1000000$ .

$- \frac{2 \cdot 1000000}{{| 0^{2} - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 \cdot 1000000}{{| 0 - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $100$ von $0$ .

$- \frac{2 \cdot 1000000}{{| - 100 |}^{2} | (0 + 10) (0 - 10) |}$

Schritt 9.2.3

Addiere $0$ und $10$ .

$- \frac{2 \cdot 1000000}{{| - 100 |}^{2} | 10 (0 - 10) |}$

Schritt 9.2.4

Subtrahiere $10$ von $0$ .

$- \frac{2 \cdot 1000000}{{| - 100 |}^{2} | 10 \cdot - 10 |}$

Schritt 9.2.5

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 100$ und $0$ ist $100$ .

$- \frac{2 \cdot 1000000}{100^{2} | 10 \cdot - 10 |}$

Schritt 9.2.6

Potenziere $100$ mit $2$ .

$- \frac{2 \cdot 1000000}{10000 | 10 \cdot - 10 |}$

Schritt 9.2.7

Mutltipliziere $10$ mit $- 10$ .

$- \frac{2 \cdot 1000000}{10000 | - 100 |}$

Schritt 9.2.8

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 100$ und $0$ ist $100$ .

$- \frac{2 \cdot 1000000}{10000 \cdot 100}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1000000$ .

$- \frac{2000000}{10000 \cdot 100}$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $10000$ mit $100$ .

$- \frac{2000000}{1000000}$

Schritt 9.3.3

Dividiere $2000000$ durch $1000000$ .

$- 1 \cdot 2$

Schritt 9.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2$

Schritt 10

$x = 0$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = | {(0)}^{2} - 100 |$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = | 0 - 100 |$

Schritt 11.2.2

Subtrahiere $100$ von $0$ .

$f (0) = | - 100 |$

Schritt 11.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 100$ und $0$ ist $100$ .

$f (0) = 100$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung ist $100$ .

$y = 100$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 10$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{{| {(- 10)}^{2} - 100 |}^{2} | ((- 10) + 10) ((- 10) - 10) |}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{{| 100 - 100 |}^{2} | ((- 10) + 10) ((- 10) - 10) |}$

Schritt 13.2

Subtrahiere $100$ von $100$ .

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{{| 0 |}^{2} | ((- 10) + 10) ((- 10) - 10) |}$

Schritt 13.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0^{2} | ((- 10) + 10) ((- 10) - 10) |}$

Schritt 13.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0 | ((- 10) + 10) ((- 10) - 10) |}$

Schritt 13.5

Addiere $- 10$ und $10$ .

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0 | 0 ((- 10) - 10) |}$

Schritt 13.6

Subtrahiere $10$ von $- 10$ .

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0 | 0 \cdot - 20 |}$

Schritt 13.7

Mutltipliziere $0$ mit $- 20$ .

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0 | 0 |}$

Schritt 13.8

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0 \cdot 0}$

Schritt 13.9

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$- \frac{2 (2 {(- 10)}^{6} - 400 {(- 10)}^{4} + 20000 {(- 10)}^{2} - 3 {(- 10)}^{2} | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 | + 100 | {(- 10)}^{4} - 200 {(- 10)}^{2} + 10000 |)}{0}$

Schritt 13.10

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 14.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 0) \cup (0, 10) \cup (10, \infty)$

Schritt 14.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 12$ , aus dem Intervall $(- \infty, - 10)$ in die erste Ableitung $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 12$ .

$f' (- 12) = \frac{2 {(- 12)}^{3} - 200 \cdot - 12}{| {(- 12)}^{2} - 100 |}$

Schritt 14.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.2.2.1.1

Potenziere $- 12$ mit $3$ .

$f' (- 12) = \frac{2 \cdot - 1728 - 200 \cdot - 12}{| {(- 12)}^{2} - 100 |}$

Schritt 14.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1728$ .

$f' (- 12) = \frac{- 3456 - 200 \cdot - 12}{| {(- 12)}^{2} - 100 |}$

Schritt 14.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 200$ mit $- 12$ .

$f' (- 12) = \frac{- 3456 + 2400}{| {(- 12)}^{2} - 100 |}$

Schritt 14.2.2.1.4

Addiere $- 3456$ und $2400$ .

$f' (- 12) = \frac{- 1056}{| {(- 12)}^{2} - 100 |}$

Schritt 14.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.2.2.1

Potenziere $- 12$ mit $2$ .

$f' (- 12) = \frac{- 1056}{| 144 - 100 |}$

Schritt 14.2.2.2.2

Subtrahiere $100$ von $144$ .

$f' (- 12) = \frac{- 1056}{| 44 |}$

Schritt 14.2.2.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $44$ ist $44$ .

$f' (- 12) = \frac{- 1056}{44}$

Schritt 14.2.2.3

Dividiere $- 1056$ durch $44$ .

$f' (- 12) = - 24$

Schritt 14.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 24$ .

$- 24$

Schritt 14.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 5$ , aus dem Intervall $(- 10, 0)$ in die erste Ableitung $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f' (- 5) = \frac{2 {(- 5)}^{3} - 200 \cdot - 5}{| {(- 5)}^{2} - 100 |}$

Schritt 14.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.3.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$f' (- 5) = \frac{2 \cdot - 125 - 200 \cdot - 5}{| {(- 5)}^{2} - 100 |}$

Schritt 14.3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 125$ .

$f' (- 5) = \frac{- 250 - 200 \cdot - 5}{| {(- 5)}^{2} - 100 |}$

Schritt 14.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 200$ mit $- 5$ .

$f' (- 5) = \frac{- 250 + 1000}{| {(- 5)}^{2} - 100 |}$

Schritt 14.3.2.1.4

Addiere $- 250$ und $1000$ .

$f' (- 5) = \frac{750}{| {(- 5)}^{2} - 100 |}$

Schritt 14.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.3.2.2.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f' (- 5) = \frac{750}{| 25 - 100 |}$

Schritt 14.3.2.2.2

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$f' (- 5) = \frac{750}{| - 75 |}$

Schritt 14.3.2.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 75$ und $0$ ist $75$ .

$f' (- 5) = \frac{750}{75}$

Schritt 14.3.2.3

Dividiere $750$ durch $75$ .

$f' (- 5) = 10$

Schritt 14.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $10$ .

$10$

Schritt 14.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $5$ , aus dem Intervall $(0, 10)$ in die erste Ableitung $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = \frac{2 {(5)}^{3} - 200 \cdot 5}{| {(5)}^{2} - 100 |}$

Schritt 14.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.4.2.1.1

Potenziere $5$ mit $3$ .

$f' (5) = \frac{2 \cdot 125 - 200 \cdot 5}{| 5^{2} - 100 |}$

Schritt 14.4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $125$ .

$f' (5) = \frac{250 - 200 \cdot 5}{| 5^{2} - 100 |}$

Schritt 14.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 200$ mit $5$ .

$f' (5) = \frac{250 - 1000}{| 5^{2} - 100 |}$

Schritt 14.4.2.1.4

Subtrahiere $1000$ von $250$ .

$f' (5) = \frac{- 750}{| 5^{2} - 100 |}$

Schritt 14.4.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.4.2.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f' (5) = \frac{- 750}{| 25 - 100 |}$

Schritt 14.4.2.2.2

Subtrahiere $100$ von $25$ .

$f' (5) = \frac{- 750}{| - 75 |}$

Schritt 14.4.2.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 75$ und $0$ ist $75$ .

$f' (5) = \frac{- 750}{75}$

Schritt 14.4.2.3

Dividiere $- 750$ durch $75$ .

$f' (5) = - 10$

Schritt 14.4.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 10$ .

$- 10$

Schritt 14.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $12$ , aus dem Intervall $(10, \infty)$ in die erste Ableitung $\frac{2 x^{3} - 200 x}{| x^{2} - 100 |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $12$ .

$f' (12) = \frac{2 {(12)}^{3} - 200 \cdot 12}{| {(12)}^{2} - 100 |}$

Schritt 14.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.2.1.1

Potenziere $12$ mit $3$ .

$f' (12) = \frac{2 \cdot 1728 - 200 \cdot 12}{| 12^{2} - 100 |}$

Schritt 14.5.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1728$ .

$f' (12) = \frac{3456 - 200 \cdot 12}{| 12^{2} - 100 |}$

Schritt 14.5.2.1.3

Mutltipliziere $- 200$ mit $12$ .

$f' (12) = \frac{3456 - 2400}{| 12^{2} - 100 |}$

Schritt 14.5.2.1.4

Subtrahiere $2400$ von $3456$ .

$f' (12) = \frac{1056}{| 12^{2} - 100 |}$

Schritt 14.5.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.2.2.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$f' (12) = \frac{1056}{| 144 - 100 |}$

Schritt 14.5.2.2.2

Subtrahiere $100$ von $144$ .

$f' (12) = \frac{1056}{| 44 |}$

Schritt 14.5.2.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $44$ ist $44$ .

$f' (12) = \frac{1056}{44}$

Schritt 14.5.2.3

Dividiere $1056$ durch $44$ .

$f' (12) = 24$

Schritt 14.5.2.4

Die endgültige Lösung ist $24$ .

$24$

Schritt 14.6

Da die erste Ableitung um $x = - 10$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = - 10$ ein lokales Minimum.

$x = - 10$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14.7

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14.8

Da die erste Ableitung um $x = 10$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = 10$ ein lokales Minimum.

$x = 10$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = | x^{2} - 100 |$ .

$x = - 10$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = 10$ ist ein lokales Minimum

$x = - 10$ ist ein lokales Minimum

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

$x = 10$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15