Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{100 x^{2} + 81}{x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 100 x^{2} + 81$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 81] - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $100 x^{2} + 81$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.2

Da $100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $100 x^{2}$ nach $x$ gleich $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x (100 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $100$ .

$\frac{x (200 x + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.5

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $81$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (200 x + 0) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2.6

Addiere $200 x$ und $0$ .

$\frac{x (200 x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x^{1}) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{200 x^{1 + 1} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81)}{x^{2}}$

Schritt 1.9

Vereinfache.

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Schritt 1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2}) - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Schritt 1.9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.2.1.1

Mutltipliziere $100$ mit $- 1$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Schritt 1.9.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Schritt 1.9.2.2

Subtrahiere $100 x^{2}$ von $200 x^{2}$ .

$\frac{100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Schritt 1.9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.9.3.1

Schreibe $100 x^{2}$ als ${(10 x)}^{2}$ um.

$\frac{{(10 x)}^{2} - 81}{x^{2}}$

Schritt 1.9.3.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{{(10 x)}^{2} - 9^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.9.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 10 x$ und $b = 9$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((10 x + 9) (10 x - 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((10 x + 9) (10 x - 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((10 x + 9) (10 x - 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 10 x + 9$ und $g (x) = 10 x - 9$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) \frac{d}{d x} (10 x - 9) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) (\frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (- 9)) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.2

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) (10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9)) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) (10 + \frac{d}{d x} (- 9)) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.5

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) (10 + 0) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.6.1

Addiere $10$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((10 x + 9) \cdot 10 + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.6.2

Bringe $10$ auf die linke Seite von $10 x + 9$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 \cdot (10 x + 9) + (10 x - 9) \frac{d}{d x} (10 x + 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + (10 x - 9) (\frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (9))) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.8

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + (10 x - 9) (10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (9))) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + (10 x - 9) (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9))) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.10

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + (10 x - 9) (10 + \frac{d}{d x} (9))) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.11

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + (10 x - 9) (10 + 0)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.12.1

Addiere $10$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + (10 x - 9) \cdot 10) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.12.2

Bringe $10$ auf die linke Seite von $10 x - 9$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + 10 \cdot (10 x - 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - (10 x + 9) (10 x - 9) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.4.14

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.4.14.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9) x}{x^{4}}$

Schritt 2.4.14.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9) x$ heraus.

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Schritt 2.4.14.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x (x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9))) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9) x}{x^{4}}$

Schritt 2.4.14.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (10 x + 9) (10 x - 9) x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x (x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9))) + x (- 2 (10 x + 9) (10 x - 9))}{x^{4}}$

Schritt 2.4.14.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9))) + x (- 2 (10 x + 9) (10 x - 9))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x (x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9))}{x^{4}}$

Schritt 2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x (x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{x (x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x + 9) + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x) + 10 \cdot 9 + 10 (10 x - 9)) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x) + 10 \cdot 9 + 10 (10 x) + 10 \cdot - 9) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x)) + x (10 \cdot 9) + x (10 (10 x)) + x (10 \cdot - 9) - 2 (10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x)) + x (10 \cdot 9) + x (10 (10 x)) + x (10 \cdot - 9) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x (10 (10 x)) + x (10 \cdot 9) + x (10 (10 x)) + x (10 \cdot - 9) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)$ .

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Schritt 2.6.5.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x (10 \cdot 9)$ und $x (10 \cdot - 9)$ neu an.

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x)) + 9 \cdot (10 x) + x (10 (10 x)) - 9 \cdot (10 x) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.1.2

Subtrahiere $9 \cdot 10 x$ von $9 \cdot 10 x$ .

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x)) + x (10 (10 x)) + 0 + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.1.3

Addiere $x (10 (10 x)) + x (10 (10 x))$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (10 (10 x)) + x (10 (10 x)) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.5.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{10 \cdot (10 x \cdot x) + x (10 (10 x)) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.5.2.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 \cdot (10 (x \cdot x)) + x (10 (10 x)) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 \cdot (10 x^{2}) + x (10 (10 x)) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.3

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + x (10 (10 x)) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 10 \cdot (10 x \cdot x) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.5.2.5.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 10 \cdot (10 (x \cdot x)) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 10 \cdot (10 x^{2}) + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.6

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} + (- 2 (10 x) - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.5.2.7.1

Mutltipliziere $10$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} + (- 20 x - 2 \cdot 9) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.7.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $9$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} + (- 20 x - 18) (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.8

Multipliziere $(- 20 x - 18) (10 x - 9)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.5.2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 20 x (10 x - 9) - 18 (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 20 x (10 x) - 20 x \cdot - 9 - 18 (10 x - 9)}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 20 x (10 x) - 20 x \cdot - 9 - 18 (10 x) - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.5.2.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.5.2.9.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 20 \cdot (10 x \cdot x) - 20 x \cdot - 9 - 18 (10 x) - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.9.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.5.2.9.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 20 \cdot (10 (x \cdot x)) - 20 x \cdot - 9 - 18 (10 x) - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.9.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 20 \cdot (10 x^{2}) - 20 x \cdot - 9 - 18 (10 x) - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.9.1.3

Mutltipliziere $- 20$ mit $10$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 200 x^{2} - 20 x \cdot - 9 - 18 (10 x) - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.9.1.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 20$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 200 x^{2} + 180 x - 18 (10 x) - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.9.1.5

Mutltipliziere $10$ mit $- 18$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 200 x^{2} + 180 x - 180 x - 18 \cdot - 9}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.9.1.6

Mutltipliziere $- 18$ mit $- 9$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 200 x^{2} + 180 x - 180 x + 162}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.9.2

Subtrahiere $180 x$ von $180 x$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 200 x^{2} + 0 + 162}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.2.9.3

Addiere $- 200 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{100 x^{2} + 100 x^{2} - 200 x^{2} + 162}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.3

Addiere $100 x^{2}$ und $100 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{200 x^{2} - 200 x^{2} + 162}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.4

Subtrahiere $200 x^{2}$ von $200 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 162}{x^{3}}$

Schritt 2.6.5.5

Addiere $0$ und $162$ .

$f'' (x) = \frac{162}{x^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 81] - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $100 x^{2} + 81$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.2.2

Da $100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $100 x^{2}$ nach $x$ gleich $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x (100 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $100$ .

$\frac{x (200 x + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.2.5

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $81$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (200 x + 0) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.2.6

Addiere $200 x$ und $0$ .

$\frac{x (200 x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x^{1}) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{200 x^{1 + 1} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 4.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81)}{x^{2}}$

Schritt 4.1.9

Vereinfache.

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Schritt 4.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2}) - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Schritt 4.1.9.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.9.2.1.1

Mutltipliziere $100$ mit $- 1$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Schritt 4.1.9.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Schritt 4.1.9.2.2

Subtrahiere $100 x^{2}$ von $200 x^{2}$ .

$\frac{100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Schritt 4.1.9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.9.3.1

Schreibe $100 x^{2}$ als ${(10 x)}^{2}$ um.

$\frac{{(10 x)}^{2} - 81}{x^{2}}$

Schritt 4.1.9.3.2

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\frac{{(10 x)}^{2} - 9^{2}}{x^{2}}$

Schritt 4.1.9.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 10 x$ und $b = 9$ .

$f' (x) = \frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(10 x + 9) (10 x - 9) = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$10 x + 9 = 0$

$10 x - 9 = 0$

Schritt 5.3.2

Setze $10 x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Setze $10 x + 9$ gleich $0$ .

$10 x + 9 = 0$

Schritt 5.3.2.2

Löse $10 x + 9 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.2.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 x = - 9$

Schritt 5.3.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $10 x = - 9$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x = - 9$ durch $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 9}{10}$

Schritt 5.3.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.3.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 9}{10}$

Schritt 5.3.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 9}{10}$

Schritt 5.3.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{9}{10}$

Schritt 5.3.3

Setze $10 x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Setze $10 x - 9$ gleich $0$ .

$10 x - 9 = 0$

Schritt 5.3.3.2

Löse $10 x - 9 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$10 x = 9$

Schritt 5.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $10 x = 9$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x = 9$ durch $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{9}{10}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x}{10} = \frac{9}{10}$

Schritt 5.3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{9}{10}$

Schritt 5.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(10 x + 9) (10 x - 9) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{9}{10}, \frac{9}{10}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - \frac{9}{10}, \frac{9}{10}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{9}{10}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{162}{{(- \frac{9}{10})}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{9}{10}$ an.

$\frac{162}{{(- 1)}^{3} {(\frac{9}{10})}^{3}}$

Schritt 9.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{162}{- {(\frac{9}{10})}^{3}}$

Schritt 9.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{10}$ an.

$\frac{162}{- \frac{9^{3}}{10^{3}}}$

Schritt 9.1.4

Potenziere $9$ mit $3$ .

$\frac{162}{- \frac{729}{10^{3}}}$

Schritt 9.1.5

Potenziere $10$ mit $3$ .

$\frac{162}{- \frac{729}{1000}}$

Schritt 9.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$162 (- \frac{1000}{729})$

Schritt 9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $81$ .

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Schritt 9.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1000}{729}$ in den Zähler.

$162 (\frac{- 1000}{729})$

Schritt 9.3.2

Faktorisiere $81$ aus $162$ heraus.

$81 (2) \frac{- 1000}{729}$

Schritt 9.3.3

Faktorisiere $81$ aus $729$ heraus.

$81 \cdot 2 \frac{- 1000}{81 \cdot 9}$

Schritt 9.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$81 \cdot 2 \frac{- 1000}{81 \cdot 9}$

Schritt 9.3.5

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{- 1000}{9})$

Schritt 9.4

Kombiniere $2$ und $\frac{- 1000}{9}$ .

$\frac{2 \cdot - 1000}{9}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1000$ .

$\frac{- 2000}{9}$

Schritt 9.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2000}{9}$

Schritt 10

$x = - \frac{9}{10}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{9}{10}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{9}{10}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{9}{10}$ .

$f (- \frac{9}{10}) = \frac{100 {(- \frac{9}{10})}^{2} + 81}{- \frac{9}{10}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{9}{10}) = (100 {(- \frac{9}{10})}^{2} + 81) (- \frac{10}{9})$

Schritt 11.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{9}{10}$ an.

$f (- \frac{9}{10}) = (100 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{10})}^{2}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Schritt 11.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{10}$ an.

$f (- \frac{9}{10}) = (100 ({(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{10^{2}})) + 81) (- \frac{10}{9})$

Schritt 11.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{9}{10}) = (100 (1 (\frac{9^{2}}{10^{2}})) + 81) (- \frac{10}{9})$

Schritt 11.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{9^{2}}{10^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{9}{10}) = (100 (\frac{9^{2}}{10^{2}}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Schritt 11.2.2.4

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f (- \frac{9}{10}) = (100 (\frac{81}{10^{2}}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Schritt 11.2.2.5

Potenziere $10$ mit $2$ .

$f (- \frac{9}{10}) = (100 (\frac{81}{100}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Schritt 11.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{9}{10}) = (100 (\frac{81}{100}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Schritt 11.2.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{9}{10}) = (81 + 81) (- \frac{10}{9})$

Schritt 11.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.3.1

Addiere $81$ und $81$ .

$f (- \frac{9}{10}) = 162 (- \frac{10}{9})$

Schritt 11.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{10}{9}$ in den Zähler.

$f (- \frac{9}{10}) = 162 (\frac{- 10}{9})$

Schritt 11.2.3.2.2

Faktorisiere $9$ aus $162$ heraus.

$f (- \frac{9}{10}) = 9 (18) (\frac{- 10}{9})$

Schritt 11.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{9}{10}) = 9 \cdot (18 (\frac{- 10}{9}))$

Schritt 11.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{9}{10}) = 18 \cdot - 10$

Schritt 11.2.3.3

Mutltipliziere $18$ mit $- 10$ .

$f (- \frac{9}{10}) = - 180$

Schritt 11.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 180$ .

$y = - 180$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{9}{10}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{162}{{(\frac{9}{10})}^{3}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 13.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{10}$ an.

$\frac{162}{\frac{9^{3}}{10^{3}}}$

Schritt 13.1.2

Potenziere $9$ mit $3$ .

$\frac{162}{\frac{729}{10^{3}}}$

Schritt 13.1.3

Potenziere $10$ mit $3$ .

$\frac{162}{\frac{729}{1000}}$

Schritt 13.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$162 (\frac{1000}{729})$

Schritt 13.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $81$ .

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Schritt 13.3.1

Faktorisiere $81$ aus $162$ heraus.

$81 (2) \frac{1000}{729}$

Schritt 13.3.2

Faktorisiere $81$ aus $729$ heraus.

$81 \cdot 2 \frac{1000}{81 \cdot 9}$

Schritt 13.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$81 \cdot 2 \frac{1000}{81 \cdot 9}$

Schritt 13.3.4

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{1000}{9})$

Schritt 13.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1000}{9}$ .

$\frac{2 \cdot 1000}{9}$

Schritt 13.5

Mutltipliziere $2$ mit $1000$ .

$\frac{2000}{9}$

Schritt 14

$x = \frac{9}{10}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{9}{10}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{9}{10}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{9}{10}$ .

$f (\frac{9}{10}) = \frac{100 {(\frac{9}{10})}^{2} + 81}{\frac{9}{10}}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{9}{10}) = (100 {(\frac{9}{10})}^{2} + 81) (\frac{10}{9})$

Schritt 15.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{10}$ an.

$f (\frac{9}{10}) = (100 (\frac{9^{2}}{10^{2}}) + 81) (\frac{10}{9})$

Schritt 15.2.2.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f (\frac{9}{10}) = (100 (\frac{81}{10^{2}}) + 81) (\frac{10}{9})$

Schritt 15.2.2.3

Potenziere $10$ mit $2$ .

$f (\frac{9}{10}) = (100 (\frac{81}{100}) + 81) (\frac{10}{9})$

Schritt 15.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9}{10}) = (100 (\frac{81}{100}) + 81) (\frac{10}{9})$

Schritt 15.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9}{10}) = (81 + 81) (\frac{10}{9})$

Schritt 15.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.3.1

Addiere $81$ und $81$ .

$f (\frac{9}{10}) = 162 (\frac{10}{9})$

Schritt 15.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.2.3.2.1

Faktorisiere $9$ aus $162$ heraus.

$f (\frac{9}{10}) = 9 (18) (\frac{10}{9})$

Schritt 15.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{9}{10}) = 9 \cdot (18 (\frac{10}{9}))$

Schritt 15.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{9}{10}) = 18 \cdot 10$

Schritt 15.2.3.3

Mutltipliziere $18$ mit $10$ .

$f (\frac{9}{10}) = 180$

Schritt 15.2.4

Die endgültige Lösung ist $180$ .

$y = 180$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{100 x^{2} + 81}{x}$ .

$(- \frac{9}{10}, - 180)$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{9}{10}, 180)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 17