Analysis Beispiele

$f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ als ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = 2 - x^{3}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Schritt 1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Schritt 1.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Schritt 1.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 1.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 1.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 1.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 1.2.10.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 1.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 1.2.12

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

Schritt 1.2.13

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

Schritt 1.2.14

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

Schritt 1.2.15

Kombiniere $- 3$ und $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

Schritt 1.2.16

Kombiniere $\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ und $x^{2}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

Schritt 1.2.17

Bringe ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.18

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.19.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 1.2.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.19.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.3

Stelle die Terme um.

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = 2 - x^{3}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (2 - x^{3}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{3}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 - x^{3}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- x^{3}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{3}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} x^{3})))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - \frac{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} (2 x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

Schritt 2.2.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x) - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.11

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.12

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{2 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.14.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{\frac{- 1}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} (0 - (3 x^{2}))))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.16

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} (0 - 3 x^{2})))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.17

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2}{3} \cdot ({(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} (- 3 x^{2})))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.18

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{2 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot (- 3 x^{2}))}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.19

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{- 3 (2 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}})}{3} \cdot x^{2})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.20

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (\frac{- 6 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot x^{2})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.21

Kombiniere $\frac{- 6 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ und $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{- 6 {(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}} x^{2}}{3}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.22

Bringe ${(2 - x^{3})}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{- 6 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.23

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.24

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.24.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{3 (- 2 x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}})}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.24.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.2.24.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} \frac{- 2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.25

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x - x^{2} (- \frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.26

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + 1 x^{2} (\frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.27

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + x^{2} (\frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}})}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.28

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2 x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{2} (2 x^{2})}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.29

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.29.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{2} x^{2} \cdot 2}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.29.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{2 + 2} \cdot 2}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.29.3

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{x^{4} \cdot 2}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.30

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}} x + \frac{2 \cdot x^{4}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.31

Stelle $2$ und $- x^{3}$ um.

$f'' (x) = - \frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.32

Um $2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.33

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.34

Multipliziere ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}}$ mit ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.34.1

Bewege ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x ({(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{2}{3}}) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.34.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.34.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{1 + 2}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.34.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x {(- x^{3} + 2)}^{\frac{3}{3}} + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.34.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.35

Vereinfache $2 x {(- x^{3} + 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.36

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.36.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 2}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.36.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Schritt 2.2.36.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.36.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.37

Schreibe $\frac{\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = - (\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}) + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.38

Mutltipliziere $\frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{1}{{(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} {(2 - x^{3})}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.39

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}} {(- x^{3} + 2)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.40

Multipliziere ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(- x^{3} + 2)}^{\frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.40.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.40.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{1 + 4}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.40.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.41

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ mit $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.2.42

Addiere $- \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3} + 2) + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{2 x (- x^{3}) + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Schritt 2.4.2.2

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.2.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 (x^{3} x) + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Schritt 2.4.2.2.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 (x^{3} x) + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Schritt 2.4.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{3 + 1} + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Schritt 2.4.2.2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 2 x \cdot 2 + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Schritt 2.4.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 x^{4} + 4 x + 2 x^{4}}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Schritt 2.4.2.4

Addiere $- 2 x^{4}$ und $2 x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 0}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Schritt 2.4.2.5

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}} + 0$

Schritt 2.4.2.6

Addiere $- \frac{4 x}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x}{{(- x^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ als ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = 2 - x^{3}$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Schritt 4.1.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Schritt 4.1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Schritt 4.1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Schritt 4.1.2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Schritt 4.1.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 4.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 4.1.2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 4.1.2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 4.1.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 4.1.2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 4.1.2.10.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 4.1.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Schritt 4.1.2.12

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

Schritt 4.1.2.13

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

Schritt 4.1.2.14

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

Schritt 4.1.2.15

Kombiniere $- 3$ und $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

Schritt 4.1.2.16

Kombiniere $\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ und $x^{2}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

Schritt 4.1.2.17

Bringe ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.2.18

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.2.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.19.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 4.1.2.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.2.19.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.2.20

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.1.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

Schritt 5.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = 1$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}} + 1$

Schritt 6.2

Setze den Nenner in $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}} = 0$

Schritt 6.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}$ als ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(2 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

Schritt 6.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(2 - x^{3})}^{2} = 0$

Schritt 6.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Setze $2 - x^{3}$ gleich $0$ .

$2 - x^{3} = 0$

Schritt 6.3.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{3} = - 2$

Schritt 6.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{3} = - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{3} = - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{3}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{3}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.3.3.2.2.2.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 6.3.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.2.2.3.1

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$x^{3} = 2$

Schritt 6.3.3.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{2}$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1, \sqrt[3]{2}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{4 (1)}{{(- {(1)}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{4}{{(- 1^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{4}{{(- 1 \cdot 1 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{4}{{(- 1 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 9.2.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$- \frac{4}{1^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 9.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{4}{1}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

Dividiere $4$ durch $1$ .

$- 1 \cdot 4$

Schritt 9.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4$

Schritt 10

$x = 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = (1) + \sqrt[3]{2 - {(1)}^{3}}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 1}$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = 1 + \sqrt[3]{2 - 1}$

Schritt 11.2.1.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (1) = 1 + \sqrt[3]{1}$

Schritt 11.2.1.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = 1 + 1$

Schritt 11.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (1) = 2$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \sqrt[3]{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- {(\sqrt[3]{2})}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Entferne die Klammern.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- {\sqrt[3]{2}}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 13.1.2

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 13.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- {(2^{\frac{1}{3}})}^{3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 13.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 13.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{\frac{3}{3}} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 13.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{\frac{3}{3}} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 13.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2^{1} + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 13.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 1 \cdot 2 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 13.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(- 2 + 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 13.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.2.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 13.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{{(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 13.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 13.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Schritt 13.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0^{5}}$

Schritt 13.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0}$

Schritt 13.2.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{4 (\sqrt[3]{2})}{0}$

Schritt 13.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 14

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 14.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 1) \cup (1, \sqrt[3]{2}) \cup (\sqrt[3]{2}, \infty)$

Schritt 14.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, 1)$ in die erste Ableitung $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{{(2 - {(0)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 14.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.2.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = - \frac{0}{{(2 - 0^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 14.2.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.2.2.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f' (0) = - \frac{0}{{(2 - 0)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 14.2.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f' (0) = - \frac{0}{{(2 + 0)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 14.2.2.1.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$f' (0) = - \frac{0}{2^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 14.2.2.1.3

Dividiere $0$ durch $2^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (0) = - 0 + 1$

Schritt 14.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Schritt 14.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f' (0) = 1$

Schritt 14.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 14.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $1.13$ , aus dem Intervall $(1, \sqrt[3]{2})$ in die erste Ableitung $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.13$ .

$f' (1.13) = - \frac{{(1.13)}^{2}}{{(2 - {(1.13)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 14.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 14.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.3.2.1.1

Potenziere $1.13$ mit $2$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{(2 - {1.13}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 14.3.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.3.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.3.2.1.2.1.1

Potenziere $1.13$ mit $3$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{(2 - 1 \cdot 1.442897)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 14.3.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.442897$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{(2 - 1.442897)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 14.3.2.1.2.2

Subtrahiere $1.442897$ von $2$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{{0.557103}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 14.3.2.1.2.3

Potenziere $0.557103$ mit $\frac{2}{3}$ .

$f' (1.13) = - \frac{1.2769}{0.67705455} + 1$

Schritt 14.3.2.1.3

Dividiere $1.2769$ durch $0.67705455$ .

$f' (1.13) = - 1 \cdot 1.88596323 + 1$

Schritt 14.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1.88596323$ .

$f' (1.13) = - 1.88596323 + 1$

Schritt 14.3.2.2

Addiere $- 1.88596323$ und $1$ .

$f' (1.13) = - 0.88596323$

Schritt 14.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 0.88596323$ .

$- 0.88596323$

Schritt 14.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $4$ , aus dem Intervall $(\sqrt[3]{2}, \infty)$ in die erste Ableitung $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 14.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f' (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{{(2 - {(4)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 14.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.4.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(2 - 4^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 14.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.4.2.1.2.1.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(2 - 1 \cdot 64)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 14.4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(2 - 64)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 14.4.2.1.2.2

Subtrahiere $64$ von $2$ .

$f' (4) = - \frac{16}{{(- 62)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 14.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \frac{16}{{(- 62)}^{\frac{2}{3}}} + 1$ .

$- \frac{16}{{(- 62)}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Schritt 14.5

Da die erste Ableitung um $x = 1$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 1$ ein lokales Maximum.

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14.6

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = \sqrt[3]{2}$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 14.7

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ .

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15