Analysis Beispiele

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $(x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ als Funktion.

$f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} - 11 x + 32$ und $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 11 x + 32]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 11 x + 32]$

Schritt 2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 11 x + 32$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [32])$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [32])$

Schritt 2.1.3.3

Da $- 11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 11 x$ nach $x$ gleich $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32])$

Schritt 2.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32])$

Schritt 2.1.3.5

Mutltipliziere $- 11$ mit $1$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 + \frac{d}{d x} [32])$

Schritt 2.1.3.6

Da $32$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $32$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11 + 0)$

Schritt 2.1.3.7

Addiere $2 x - 11$ und $0$ .

$(x^{2} - 11 x + 32) e^{x} + e^{x} (2 x - 11)$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 32 e^{x} + e^{x} (2 x - 11)$

Schritt 2.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 32 e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 11$

Schritt 2.1.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.4.3.1

Bringe $- 11$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 32 e^{x} + e^{x} (2 x) - 11 \cdot e^{x}$

Schritt 2.1.4.3.2

Addiere $- 11 x e^{x}$ und $e^{x} (2 x)$ .

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Schritt 2.1.4.3.2.1

Bewege $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} + 2 x e^{x} + 32 e^{x} - 11 e^{x}$

Schritt 2.1.4.3.2.2

Addiere $- 11 x e^{x}$ und $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 32 e^{x} - 11 e^{x}$

Schritt 2.1.4.3.3

Subtrahiere $11 e^{x}$ von $32 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 21 e^{x}$

Schritt 2.1.4.4

Stelle die Terme um.

$e^{x} x^{2} - 9 e^{x} x + 21 e^{x}$

Schritt 2.1.4.5

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{2} - 9 e^{x} x + 21 e^{x}$ um.

$f' (x) = x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 21 e^{x}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} e^{x} - 9 x e^{x} + 21 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Schritt 2.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 x e^{x}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x e^{x}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Schritt 2.2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Schritt 2.2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Schritt 2.2.3.5

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [21 e^{x}]$

Schritt 2.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [21 e^{x}]$ .

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Schritt 2.2.4.1

Da $21$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $21 e^{x}$ nach $x$ gleich $21 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x}) + 21 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x} + e^{x}) + 21 e^{x}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 9 (x e^{x}) - 9 e^{x} + 21 e^{x}$

Schritt 2.2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.2.5.2.1

Subtrahiere $9 x e^{x}$ von $e^{x} (2 x)$ .

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Schritt 2.2.5.2.1.1

Bewege $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 9 x e^{x} - 9 e^{x} + 21 e^{x}$

Schritt 2.2.5.2.1.2

Subtrahiere $9 x e^{x}$ von $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} - 9 e^{x} + 21 e^{x}$

Schritt 2.2.5.2.2

Addiere $- 9 e^{x}$ und $21 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$

Schritt 2.2.5.3

Stelle die Terme um.

$e^{x} x^{2} - 7 e^{x} x + 12 e^{x}$

Schritt 2.2.5.4

Stelle die Faktoren in $e^{x} x^{2} - 7 e^{x} x + 12 e^{x}$ um.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x} = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x^{2} e^{x} - 7 x e^{x} + 12 e^{x}$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x^{2} e^{x}$ heraus.

$e^{x} x^{2} - 7 x e^{x} + 12 e^{x} = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 7 x e^{x}$ heraus.

$e^{x} x^{2} + e^{x} (- 7 x) + 12 e^{x} = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $12 e^{x}$ heraus.

$e^{x} x^{2} + e^{x} (- 7 x) + e^{x} \cdot 12 = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x^{2} + e^{x} (- 7 x)$ heraus.

$e^{x} (x^{2} - 7 x) + e^{x} \cdot 12 = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (x^{2} - 7 x) + e^{x} \cdot 12$ heraus.

$e^{x} (x^{2} - 7 x + 12) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 7 x + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 4, - 3$

Schritt 3.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$e^{x} ((x - 4) (x - 3)) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$e^{x} (x - 4) (x - 3) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 3.4

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 3.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 3.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 3.6

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.6.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (x - 4) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 4, 3$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $4$ in $f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$f (4) = ({(4)}^{2} - 11 \cdot 4 + 32) \cdot e^{4}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (4) = (16 - 11 \cdot 4 + 32) \cdot e^{4}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 11$ mit $4$ .

$f (4) = (16 - 44 + 32) \cdot e^{4}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.1.2.2.1

Subtrahiere $44$ von $16$ .

$f (4) = (- 28 + 32) \cdot e^{4}$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $- 28$ und $32$ .

$f (4) = 4 e^{4}$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $4 e^{4}$ .

$4 e^{4}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $4$ in $f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ ermittelt werden kann, ist $(4, 4 e^{4})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(4, 4 e^{4})$

Schritt 4.3

Ersetze $3$ in $f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = ({(3)}^{2} - 11 \cdot 3 + 32) \cdot e^{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (3) = (9 - 11 \cdot 3 + 32) \cdot e^{3}$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 11$ mit $3$ .

$f (3) = (9 - 33 + 32) \cdot e^{3}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.3.2.2.1

Subtrahiere $33$ von $9$ .

$f (3) = (- 24 + 32) \cdot e^{3}$

Schritt 4.3.2.2.2

Addiere $- 24$ und $32$ .

$f (3) = 8 e^{3}$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $8 e^{3}$ .

$8 e^{3}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $3$ in $f (x) = (x^{2} - 11 x + 32) e^{x}$ ermittelt werden kann, ist $(3, 8 e^{3})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(3, 8 e^{3})$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(4, 4 e^{4}), (3, 8 e^{3})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, 3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 3)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.9$ .

$f'' (2.9) = {(2.9)}^{2} e^{2.9} - 7 \cdot 2.9 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $2.9$ mit $2$ .

$f'' (2.9) = 8.41 e^{2.9} - 7 \cdot 2.9 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $8.41$ mit $e^{2.9}$ .

$f'' (2.9) = 152.84456255 - 7 \cdot 2.9 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $2.9$ .

$f'' (2.9) = 152.84456255 - 20.3 \cdot e^{2.9} + 12 e^{2.9}$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $- 20.3$ mit $e^{2.9}$ .

$f'' (2.9) = 152.84456255 - 368.93515099 + 12 e^{2.9}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $368.93515099$ von $152.84456255$ .

$f'' (2.9) = - 216.09058844 + 12 e^{2.9}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $- 216.09058844$ und $12 e^{2.9}$ .

$f'' (2.9) = 1.99915599$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.99915599$ .

$1.99915599$

Schritt 6.3

Bei $2.9$ ist die zweite Ableitung $1.99915599$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, 3)$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 3)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, 4)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{7}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = {(\frac{7}{2})}^{2} e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{7^{2}}{2^{2}} \cdot e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49}{2^{2}} \cdot e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49}{4} \cdot e^{\frac{7}{2}} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Schritt 7.2.1.4

Kombiniere $\frac{49}{4}$ und $e^{\frac{7}{2}}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - 7 (\frac{7}{2}) \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Schritt 7.2.1.5

Multipliziere $- 7 (\frac{7}{2})$ .

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Schritt 7.2.1.5.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{7}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- 7 \cdot 7}{2} \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Schritt 7.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $7$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{- 49}{2} \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Schritt 7.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49}{2} \cdot e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Schritt 7.2.1.7

Kombiniere $e^{\frac{7}{2}}$ und $\frac{49}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{e^{\frac{7}{2}} \cdot 49}{2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Schritt 7.2.1.8

Bringe $49$ auf die linke Seite von $e^{\frac{7}{2}}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Schritt 7.2.2

Um $- \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2} \cdot \frac{2}{2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Schritt 7.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 2} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} - \frac{49 e^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Schritt 7.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}} - 49 e^{\frac{7}{2}} \cdot 2}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Schritt 7.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 49$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{49 e^{\frac{7}{2}} - 98 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Schritt 7.2.5.1.2

Subtrahiere $98 e^{\frac{7}{2}}$ von $49 e^{\frac{7}{2}}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Schritt 7.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}}$

Schritt 7.2.6

Um $12 e^{\frac{7}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + 12 e^{\frac{7}{2}} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 7.2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.7.1

Kombiniere $12 e^{\frac{7}{2}}$ und $\frac{4}{4}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{49 e^{\frac{7}{2}}}{4} + \frac{12 e^{\frac{7}{2}} \cdot 4}{4}$

Schritt 7.2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 e^{\frac{7}{2}} + 12 e^{\frac{7}{2}} \cdot 4}{4}$

Schritt 7.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.8.1

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 e^{\frac{7}{2}} + 48 e^{\frac{7}{2}}}{4}$

Schritt 7.2.8.2

Addiere $- 49 e^{\frac{7}{2}}$ und $48 e^{\frac{7}{2}}$ .

$f'' (\frac{7}{2}) = \frac{- e^{\frac{7}{2}}}{4}$

Schritt 7.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (\frac{7}{2}) = - \frac{e^{\frac{7}{2}}}{4}$

Schritt 7.2.10

Die endgültige Lösung ist $- \frac{e^{\frac{7}{2}}}{4}$ .

$- \frac{e^{\frac{7}{2}}}{4}$

Schritt 7.3

Bei $\frac{7}{2}$ , die zweite Ableitung ist $- 8.27886298$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(3, 4)$

Abfallend im Intervall $(3, 4)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(4, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4.1$ .

$f'' (4.1) = {(4.1)}^{2} e^{4.1} - 7 \cdot 4.1 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $4.1$ mit $2$ .

$f'' (4.1) = 16.81 e^{4.1} - 7 \cdot 4.1 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $16.81$ mit $e^{4.1}$ .

$f'' (4.1) = 1014.32023451 - 7 \cdot 4.1 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $4.1$ .

$f'' (4.1) = 1014.32023451 - 28.7 \cdot e^{4.1} + 12 e^{4.1}$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $- 28.7$ mit $e^{4.1}$ .

$f'' (4.1) = 1014.32023451 - 1731.76625404 + 12 e^{4.1}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $1731.76625404$ von $1014.32023451$ .

$f'' (4.1) = - 717.44601953 + 12 e^{4.1}$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $- 717.44601953$ und $12 e^{4.1}$ .

$f'' (4.1) = 6.63743163$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $6.63743163$ .

$6.63743163$

Schritt 8.3

Bei $4.1$ ist die zweite Ableitung $6.63743163$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(4, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(4, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(3, 8 e^{3}), (4, 4 e^{4})$ .

$(3, 8 e^{3}), (4, 4 e^{4})$

Schritt 10