Analysis Beispiele

$5 x - 4 \ln (x)$

Schritt 1

Schreibe $5 x - 4 \ln (x)$ als Funktion.

$f (x) = 5 x - 4 \ln (x)$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 4 \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$5 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$5 - 4 \frac{1}{x}$

Schritt 2.1.3.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x}$ .

$5 + \frac{- 4}{x}$

Schritt 2.1.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 - \frac{4}{x}$

Schritt 2.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{4}{x} + 5$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{4}{x} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{x}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 4 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$4 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 2.2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{- 2} + 0$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.2.4.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{4}{x^{2}} + 0$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $\frac{4}{x^{2}}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x^{2}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4}{x^{2}}$ .

$\frac{4}{x^{2}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4}{x^{2}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 = 0$

Schritt 3.3

Da $4 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 4

Keine Werte gefunden, die die zweite Ableitung gleich $0$ machen.

Keine Wendepunkte