Analysis Beispiele

$\frac{(\ln (x))}{x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{(\ln (x))}{x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{(\ln (x))}{x}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.2.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \ln (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.2.4.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.2.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.4.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x^{1}} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.4.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.4.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.4.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.4.2.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Schritt 2.2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.2.4.4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.2.4.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Schritt 2.2.4.4.2

Faktorisiere $x$ aus $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ heraus.

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Schritt 2.2.4.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Schritt 2.2.4.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (1 - \ln (x)) x$ heraus.

$\frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Schritt 2.2.4.4.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ heraus.

$\frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Schritt 2.2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Schritt 2.2.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.6.2.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Schritt 2.2.6.2.1.2

Multipliziere $- 2 (- \ln (x))$ .

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Schritt 2.2.6.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Schritt 2.2.6.2.1.2.2

Vereinfache $2 \ln (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Schritt 2.2.6.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Schritt 2.2.6.3

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{- 1 (3) + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Schritt 2.2.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $\ln (x^{2})$ heraus.

$\frac{- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Schritt 2.2.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ heraus.

$\frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Schritt 2.2.6.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$ .

$- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 - \ln (x^{2}) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (x^{2}) = - 3$

Schritt 3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (x^{2}) = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (x^{2}) = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (x^{2})}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (x^{2})}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.3.2.2.2

Dividiere $\ln (x^{2})$ durch $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$\ln (x^{2}) = 3$

Schritt 3.3.3

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{3}$

Schritt 3.3.4

Schreibe $\ln (x^{2}) = 3$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2}$

Schritt 3.3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $x^{2} = e^{3}$ um.

$x^{2} = e^{3}$

Schritt 3.3.5.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{e^{3}}$

Schritt 3.3.5.3

Vereinfache $\pm \sqrt{e^{3}}$ .

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Schritt 3.3.5.3.1

Faktorisiere $e^{2}$ aus.

$x = \pm \sqrt{e^{2} e}$

Schritt 3.3.5.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm e \sqrt{e}$

Schritt 3.3.5.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.5.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = e \sqrt{e}$

Schritt 3.3.5.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - e \sqrt{e}$

Schritt 3.3.5.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = e \sqrt{e}, - e \sqrt{e}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $e \sqrt{e}$ in $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $e \sqrt{e}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$ mit $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}} \cdot \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{\ln (e \sqrt{e})}{e \sqrt{e}}$ mit $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e \sqrt{e} \sqrt{e}}$

Schritt 4.1.2.2.2

Bewege $\sqrt{e}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

Schritt 4.1.2.2.3

Potenziere $\sqrt{e}$ mit $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

Schritt 4.1.2.2.4

Potenziere $\sqrt{e}$ mit $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e (\sqrt{e} \sqrt{e})}$

Schritt 4.1.2.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {\sqrt{e}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.1.2.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {\sqrt{e}}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2.7

Schreibe ${\sqrt{e}}^{2}$ als $e$ um.

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Schritt 4.1.2.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{e}$ als $e^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e {(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.1.2.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.1.2.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.1.2.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e}$

Schritt 4.1.2.2.7.5

Vereinfache.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e e}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{1 + 1}}$

Schritt 4.1.2.3.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (e \sqrt{e}) = \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$ .

$\frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $e \sqrt{e}$ in $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ ermittelt werden kann, ist $(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Schritt 4.3

$- e \sqrt{e}$ ist nicht innerhalb des Defintionsbereiches von $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ . Es gibt keinen Wendepunkt bei $- e \sqrt{e}$ .

$- e \sqrt{e}$ is not in the domain

Schritt 4.4

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, e \sqrt{e}) \cup (e \sqrt{e}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, e \sqrt{e})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4.38168907$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln ({(4.38168907)}^{2})}{{(4.38168907)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Potenziere $4.38168907$ mit $2$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln (19.1991991)}{{4.38168907}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Potenziere $4.38168907$ mit $3$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \ln (19.1991991)}{84.12492089}$

Schritt 6.2.3

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - \log_{2.71828182} (19.1991991)}{84.12492089}$

Schritt 6.2.4

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $19.1991991$ ist ungefähr $2.95486856$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - 1 \cdot 2.95486856}{84.12492089}$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2.95486856$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{3 - 2.95486856}{84.12492089}$

Schritt 6.2.6

Subtrahiere $2.95486856$ von $3$ .

$f'' (4.38168907) = - \frac{0.04513143}{84.12492089}$

Schritt 6.2.7

Dividiere $0.04513143$ durch $84.12492089$ .

$f'' (4.38168907) = - 1 \cdot 0.00053648$

Schritt 6.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.00053648$ .

$f'' (4.38168907) = - 0.00053648$

Schritt 6.2.9

Die endgültige Lösung ist $- 0.00053648$ .

$- 0.00053648$

Schritt 6.3

Bei $4.38168907$ , die zweite Ableitung ist $- 0.00053648$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, e \sqrt{e})$

Abfallend im Intervall $(- \infty, e \sqrt{e})$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(e \sqrt{e}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4.58168907$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln ({(4.58168907)}^{2})}{{(4.58168907)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Potenziere $4.58168907$ mit $2$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln (20.99187473)}{{4.58168907}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Potenziere $4.58168907$ mit $3$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \ln (20.99187473)}{96.17824304}$

Schritt 7.2.3

Ersetze $e$ durch eine Näherung.

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - \log_{2.71828182} (20.99187473)}{96.17824304}$

Schritt 7.2.4

Die logarithmische Basis $2.71828182$ von $20.99187473$ ist ungefähr $3.04413544$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - 1 \cdot 3.04413544}{96.17824304}$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3.04413544$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{3 - 3.04413544}{96.17824304}$

Schritt 7.2.6

Subtrahiere $3.04413544$ von $3$ .

$f'' (4.58168907) = - \frac{- 0.04413544}{96.17824304}$

Schritt 7.2.7

Dividiere $- 0.04413544$ durch $96.17824304$ .

$f'' (4.58168907) = 0.00045889$

Schritt 7.2.8

Die endgültige Lösung ist $0.00045889$ .

$0.00045889$

Schritt 7.3

Bei $4.58168907$ ist die zweite Ableitung $0.00045889$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(e \sqrt{e}, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(e \sqrt{e}, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$ .

$(e \sqrt{e}, \frac{\ln (e \sqrt{e}) \sqrt{e}}{e^{2}})$

Schritt 9