Analysis Beispiele

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{5} x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.2.4

Kombiniere $\frac{5}{5}$ und $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.2.5.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $\frac{7}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7}{2} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{7}{2}$ .

$x^{4} + \frac{4 \cdot 7}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$x^{4} + \frac{28}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3.5

Kombiniere $\frac{28}{2}$ und $x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{28 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $28$ und $2$ .

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Schritt 2.1.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $28 x^{3}$ heraus.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + \frac{14 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.3.6.2.4

Dividiere $14 x^{3}$ durch $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 2.1.4.1

Da $\frac{71}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{71}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4.3

Kombiniere $3$ und $\frac{71}{3}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 \cdot 71}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $71$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4.5

Kombiniere $\frac{213}{3}$ und $x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $213$ und $3$ .

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Schritt 2.1.4.6.1

Faktorisiere $3$ aus $213 x^{2}$ heraus.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.4.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.4.6.2.4

Dividiere $71 x^{2}$ durch $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [77 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.5.1

Da $77$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $77 x^{2}$ nach $x$ gleich $77 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $77$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.1.6

Berechne $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

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Schritt 2.1.6.1

Da $120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $120 x$ nach $x$ gleich $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \cdot 1$

Schritt 2.1.6.3

Mutltipliziere $120$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [14 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.2.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x^{3}$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 14 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 x^{3} + 14 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $14$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [71 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.3.1

Da $71$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $71 x^{2}$ nach $x$ gleich $71 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 (2 x) + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $71$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [154 x]$ .

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Schritt 2.2.4.1

Da $154$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $154 x$ nach $x$ gleich $154 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.2.4.3

Mutltipliziere $154$ mit $1$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + \frac{d}{d x} [120]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.5.1

Da $120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $120$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + 0$

Schritt 2.2.5.2

Addiere $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ heraus.

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Schritt 3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$2 (2 x^{3}) + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

Schritt 3.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $42 x^{2}$ heraus.

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 142 x + 154 = 0$

Schritt 3.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $142 x$ heraus.

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 154 = 0$

Schritt 3.2.1.4

Faktorisiere $2$ aus $154$ heraus.

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

Schritt 3.2.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2})$ heraus.

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

Schritt 3.2.1.6

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x)$ heraus.

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77) = 0$

Schritt 3.2.1.7

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77)$ heraus.

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77) = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.2.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 3.2.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 77, \pm 38.5, \pm 7, \pm 3.5, \pm 11, \pm 5.5$

Schritt 3.2.2.1.3

Setze $- 3.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 3.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Setze $- 3.5$ in das Polynom ein.

$2 {(- 3.5)}^{3} + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Potenziere $- 3.5$ mit $3$ .

$2 \cdot - 42.875 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 42.875$ .

$- 85.75 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Schritt 3.2.2.1.3.4

Potenziere $- 3.5$ mit $2$ .

$- 85.75 + 21 \cdot 12.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Schritt 3.2.2.1.3.5

Mutltipliziere $21$ mit $12.25$ .

$- 85.75 + 257.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Schritt 3.2.2.1.3.6

Addiere $- 85.75$ und $257.25$ .

$171.5 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Schritt 3.2.2.1.3.7

Mutltipliziere $71$ mit $- 3.5$ .

$171.5 - 248.5 + 77$

Schritt 3.2.2.1.3.8

Subtrahiere $248.5$ von $171.5$ .

$- 77 + 77$

Schritt 3.2.2.1.3.9

Addiere $- 77$ und $77$ .

$0$

Schritt 3.2.2.1.4

Da $- 3.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x + 7$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77}{2 x + 7}$

Schritt 3.2.2.1.5

Dividiere $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ durch $2 x + 7$ .

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Schritt 3.2.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$7$

$2 x^{3}$

$21 x^{2}$

$71 x$

$77$

Schritt 3.2.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$

Schritt 3.2.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			+	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Schritt 3.2.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} + 7 x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Schritt 3.2.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$

Schritt 3.2.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

Schritt 3.2.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $14 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

Schritt 3.2.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$49 x$

Schritt 3.2.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $14 x^{2} + 49 x$

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$

Schritt 3.2.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$

Schritt 3.2.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

Schritt 3.2.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $22 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

Schritt 3.2.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							+	$22 x$	+	$77$

Schritt 3.2.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $22 x + 77$

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$

Schritt 3.2.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$
										$0$

Schritt 3.2.2.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 7 x + 11$

Schritt 3.2.2.1.6

Schreibe $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ als eine Menge von Faktoren.

$2 ((2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11)) = 0$

Schritt 3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 7 = 0$

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

Schritt 3.4

Setze $2 x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Setze $2 x + 7$ gleich $0$ .

$2 x + 7 = 0$

Schritt 3.4.2

Löse $2 x + 7 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 7$

Schritt 3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 7$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Schritt 3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Schritt 3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Schritt 3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7}{2}$

Schritt 3.5

Setze $x^{2} + 7 x + 11$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $x^{2} + 7 x + 11$ gleich $0$ .

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $x^{2} + 7 x + 11 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 7$ und $c = 11$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 11)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.3.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.1.3

Subtrahiere $44$ von $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.4.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

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Schritt 3.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.4.1.3

Subtrahiere $44$ von $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.5.2.4.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.5.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{5}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

Schritt 3.5.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{5})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{5})}{2}$

Schritt 3.5.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.5.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

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Schritt 3.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.5.1.3

Subtrahiere $44$ von $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.5.2.5.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.5.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{5}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{5})}{2}$

Schritt 3.5.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (7) - (\sqrt{5})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{5})}{2}$

Schritt 3.5.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $- \frac{7}{2}$ in $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{1}{5} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{2}$ an.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{1}{5} \cdot ({(- 1)}^{5} {(\frac{7}{2})}^{5}) + \frac{7}{2} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{1}{5} \cdot ({(- 1)}^{5} (\frac{7^{5}}{2^{5}})) + \frac{7}{2} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{7^{5}}{2^{5}}) + \frac{7}{2} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.3

Potenziere $7$ mit $5$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{16807}{2^{5}}) + \frac{7}{2} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.4

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{1}{5} \cdot (- \frac{16807}{32}) + \frac{7}{2} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.5

Multipliziere $\frac{1}{5} (- \frac{16807}{32})$ .

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Schritt 4.1.2.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{16807}{32}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{5 \cdot 32} + \frac{7}{2} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $32$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7}{2} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.2.1.6.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{2}$ an.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7}{2} \cdot ({(- 1)}^{4} {(\frac{7}{2})}^{4}) + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7}{2} \cdot ({(- 1)}^{4} (\frac{7^{4}}{2^{4}})) + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7}{2} \cdot (1 (\frac{7^{4}}{2^{4}})) + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.8

Mutltipliziere $\frac{7^{4}}{2^{4}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7}{2} \cdot \frac{7^{4}}{2^{4}} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.9

Kombinieren.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7 \cdot 7^{4}}{2 \cdot 2^{4}} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.10

Multipliziere $7$ mit $7^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.10.1

Mutltipliziere $7$ mit $7^{4}$ .

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Schritt 4.1.2.1.10.1.1

Potenziere $7$ mit $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7 \cdot 7^{4}}{2 \cdot 2^{4}} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.10.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7^{1 + 4}}{2 \cdot 2^{4}} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.10.2

Addiere $1$ und $4$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7^{5}}{2 \cdot 2^{4}} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.11

Multipliziere $2$ mit $2^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.1.11.1

Mutltipliziere $2$ mit $2^{4}$ .

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Schritt 4.1.2.1.11.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7^{5}}{2 \cdot 2^{4}} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.11.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7^{5}}{2^{1 + 4}} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.11.2

Addiere $1$ und $4$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{7^{5}}{2^{5}} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.12

Potenziere $7$ mit $5$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{2^{5}} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.13

Potenziere $2$ mit $5$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} + \frac{71}{3} \cdot {(- \frac{7}{2})}^{3} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.14

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.14.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{2}$ an.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} + \frac{71}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.14.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} + \frac{71}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{7^{3}}{2^{3}})) + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.15

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} + \frac{71}{3} \cdot (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.16

Potenziere $7$ mit $3$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} + \frac{71}{3} \cdot (- \frac{343}{2^{3}}) + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.17

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} + \frac{71}{3} \cdot (- \frac{343}{8}) + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.18

Multipliziere $\frac{71}{3} (- \frac{343}{8})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.18.1

Mutltipliziere $\frac{71}{3}$ mit $\frac{343}{8}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{71 \cdot 343}{3 \cdot 8} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.18.2

Mutltipliziere $71$ mit $343$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{3 \cdot 8} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.18.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + 77 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.19

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.19.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{2}$ an.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + 77 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.19.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + 77 ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.20

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + 77 (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.21

Mutltipliziere $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + 77 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.22

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + 77 (\frac{49}{2^{2}}) + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.23

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + 77 (\frac{49}{4}) + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.24

Multipliziere $77 (\frac{49}{4})$ .

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Schritt 4.1.2.1.24.1

Kombiniere $77$ und $\frac{49}{4}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + \frac{77 \cdot 49}{4} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.24.2

Mutltipliziere $77$ mit $49$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} + 120 (- \frac{7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.25

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.25.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{2}$ in den Zähler.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} + 120 (\frac{- 7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.25.2

Faktorisiere $2$ aus $120$ heraus.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} + 2 (60) (\frac{- 7}{2})$

Schritt 4.1.2.1.25.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} + 2 \cdot (60 (\frac{- 7}{2}))$

Schritt 4.1.2.1.25.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} + 60 \cdot - 7$

Schritt 4.1.2.1.26

Mutltipliziere $60$ mit $- 7$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807}{160} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} - 420$

Schritt 4.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{16807}{160}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - (\frac{16807}{160} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} - 420$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{16807}{160}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807}{32} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} - 420$

Schritt 4.1.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{16807}{32}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807}{32} \cdot \frac{15}{15} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} - 420$

Schritt 4.1.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{16807}{32}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - \frac{24353}{24} + \frac{3773}{4} - 420$

Schritt 4.1.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{24353}{24}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - (\frac{24353}{24} \cdot \frac{20}{20}) + \frac{3773}{4} - 420$

Schritt 4.1.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{24353}{24}$ mit $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773}{4} - 420$

Schritt 4.1.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{3773}{4}$ mit $\frac{120}{120}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773}{4} \cdot \frac{120}{120} - 420$

Schritt 4.1.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{3773}{4}$ mit $\frac{120}{120}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} - 420$

Schritt 4.1.2.2.9

Schreibe $- 420$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} + \frac{- 420}{1}$

Schritt 4.1.2.2.10

Mutltipliziere $\frac{- 420}{1}$ mit $\frac{480}{480}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} + \frac{- 420}{1} \cdot \frac{480}{480}$

Schritt 4.1.2.2.11

Mutltipliziere $\frac{- 420}{1}$ mit $\frac{480}{480}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{160 \cdot 3} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} + \frac{- 420 \cdot 480}{480}$

Schritt 4.1.2.2.12

Stelle die Faktoren von $160 \cdot 3$ um.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{3 \cdot 160} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} + \frac{- 420 \cdot 480}{480}$

Schritt 4.1.2.2.13

Mutltipliziere $3$ mit $160$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{480} + \frac{16807 \cdot 15}{32 \cdot 15} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} + \frac{- 420 \cdot 480}{480}$

Schritt 4.1.2.2.14

Stelle die Faktoren von $32 \cdot 15$ um.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{480} + \frac{16807 \cdot 15}{15 \cdot 32} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} + \frac{- 420 \cdot 480}{480}$

Schritt 4.1.2.2.15

Mutltipliziere $15$ mit $32$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{480} + \frac{16807 \cdot 15}{480} - \frac{24353 \cdot 20}{24 \cdot 20} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} + \frac{- 420 \cdot 480}{480}$

Schritt 4.1.2.2.16

Stelle die Faktoren von $24 \cdot 20$ um.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{480} + \frac{16807 \cdot 15}{480} - \frac{24353 \cdot 20}{20 \cdot 24} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} + \frac{- 420 \cdot 480}{480}$

Schritt 4.1.2.2.17

Mutltipliziere $20$ mit $24$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{480} + \frac{16807 \cdot 15}{480} - \frac{24353 \cdot 20}{480} + \frac{3773 \cdot 120}{4 \cdot 120} + \frac{- 420 \cdot 480}{480}$

Schritt 4.1.2.2.18

Mutltipliziere $4$ mit $120$ .

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{16807 \cdot 3}{480} + \frac{16807 \cdot 15}{480} - \frac{24353 \cdot 20}{480} + \frac{3773 \cdot 120}{480} + \frac{- 420 \cdot 480}{480}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{- 16807 \cdot 3 + 16807 \cdot 15 - 24353 \cdot 20 + 3773 \cdot 120 - 420 \cdot 480}{480}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 16807$ mit $3$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{- 50421 + 16807 \cdot 15 - 24353 \cdot 20 + 3773 \cdot 120 - 420 \cdot 480}{480}$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $16807$ mit $15$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{- 50421 + 252105 - 24353 \cdot 20 + 3773 \cdot 120 - 420 \cdot 480}{480}$

Schritt 4.1.2.4.3

Mutltipliziere $- 24353$ mit $20$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{- 50421 + 252105 - 487060 + 3773 \cdot 120 - 420 \cdot 480}{480}$

Schritt 4.1.2.4.4

Mutltipliziere $3773$ mit $120$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{- 50421 + 252105 - 487060 + 452760 - 420 \cdot 480}{480}$

Schritt 4.1.2.4.5

Mutltipliziere $- 420$ mit $480$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{- 50421 + 252105 - 487060 + 452760 - 201600}{480}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.5.1

Addiere $- 50421$ und $252105$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{201684 - 487060 + 452760 - 201600}{480}$

Schritt 4.1.2.5.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.1.2.5.2.1

Subtrahiere $487060$ von $201684$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{- 285376 + 452760 - 201600}{480}$

Schritt 4.1.2.5.2.2

Addiere $- 285376$ und $452760$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{167384 - 201600}{480}$

Schritt 4.1.2.5.2.3

Subtrahiere $201600$ von $167384$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{- 34216}{480}$

Schritt 4.1.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 34216$ und $480$ .

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Schritt 4.1.2.5.3.1

Faktorisiere $8$ aus $- 34216$ heraus.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{8 (- 4277)}{480}$

Schritt 4.1.2.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.5.3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $480$ heraus.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{8 \cdot - 4277}{8 \cdot 60}$

Schritt 4.1.2.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{8 \cdot - 4277}{8 \cdot 60}$

Schritt 4.1.2.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{- 4277}{60}$

Schritt 4.1.2.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{7}{2}) = - \frac{4277}{60}$

Schritt 4.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{4277}{60}$ .

$- \frac{4277}{60}$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \frac{7}{2}$ in $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ ermittelt werden kann, ist $(- \frac{7}{2}, - \frac{4277}{60})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \frac{7}{2}, - \frac{4277}{60})$

Schritt 4.3

Ersetze $- 2.38196601$ in $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.38196601$ .

$f (- 2.38196601) = \frac{1}{5} \cdot {(- 2.38196601)}^{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 2.38196601)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2.38196601)}^{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $- 2.38196601$ mit $5$ .

$f (- 2.38196601) = \frac{1}{5} \cdot - 76.67924018 + \frac{7}{2} \cdot {(- 2.38196601)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2.38196601)}^{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Schritt 4.3.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 76.67924018$ .

$f (- 2.38196601) = \frac{- 76.67924018}{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 2.38196601)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2.38196601)}^{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Schritt 4.3.2.1.3

Dividiere $- 76.67924018$ durch $5$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + \frac{7}{2} \cdot {(- 2.38196601)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2.38196601)}^{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Schritt 4.3.2.1.4

Potenziere $- 2.38196601$ mit $4$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + \frac{7}{2} \cdot 32.19157612 + \frac{71}{3} \cdot {(- 2.38196601)}^{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Schritt 4.3.2.1.5

Multipliziere $\frac{7}{2} \cdot 32.19157612$ .

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Schritt 4.3.2.1.5.1

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $32.19157612$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + \frac{7 \cdot 32.19157612}{2} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2.38196601)}^{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Schritt 4.3.2.1.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $32.19157612$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + \frac{225.34103288}{2} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2.38196601)}^{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Schritt 4.3.2.1.6

Dividiere $225.34103288$ durch $2$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + 112.67051644 + \frac{71}{3} \cdot {(- 2.38196601)}^{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Schritt 4.3.2.1.7

Potenziere $- 2.38196601$ mit $3$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + 112.67051644 + \frac{71}{3} \cdot - 13.51470842 + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Schritt 4.3.2.1.8

Multipliziere $\frac{71}{3} \cdot - 13.51470842$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.8.1

Kombiniere $\frac{71}{3}$ und $- 13.51470842$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + 112.67051644 + \frac{71 \cdot - 13.51470842}{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Schritt 4.3.2.1.8.2

Mutltipliziere $71$ mit $- 13.51470842$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + 112.67051644 + \frac{- 959.54429835}{3} + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Schritt 4.3.2.1.9

Dividiere $- 959.54429835$ durch $3$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + 112.67051644 - 319.84809945 + 77 {(- 2.38196601)}^{2} + 120 (- 2.38196601)$

Schritt 4.3.2.1.10

Potenziere $- 2.38196601$ mit $2$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + 112.67051644 - 319.84809945 + 77 \cdot 5.67376207 + 120 (- 2.38196601)$

Schritt 4.3.2.1.11

Mutltipliziere $77$ mit $5.67376207$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + 112.67051644 - 319.84809945 + 436.87968006 + 120 (- 2.38196601)$

Schritt 4.3.2.1.12

Mutltipliziere $120$ mit $- 2.38196601$ .

$f (- 2.38196601) = - 15.33584803 + 112.67051644 - 319.84809945 + 436.87968006 - 285.83592135$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Addiere $- 15.33584803$ und $112.67051644$ .

$f (- 2.38196601) = 97.3346684 - 319.84809945 + 436.87968006 - 285.83592135$

Schritt 4.3.2.2.2

Subtrahiere $319.84809945$ von $97.3346684$ .

$f (- 2.38196601) = - 222.51343104 + 436.87968006 - 285.83592135$

Schritt 4.3.2.2.3

Addiere $- 222.51343104$ und $436.87968006$ .

$f (- 2.38196601) = 214.36624901 - 285.83592135$

Schritt 4.3.2.2.4

Subtrahiere $285.83592135$ von $214.36624901$ .

$f (- 2.38196601) = - 71.46967233$

Schritt 4.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 71.46967233$ .

$- 71.46967233$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 2.38196601$ in $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ ermittelt werden kann, ist $(- 2.38196601, - 71.46967233)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 2.38196601, - 71.46967233)$

Schritt 4.5

Ersetze $- 4.61803398$ in $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4.61803398$ .

$f (- 4.61803398) = \frac{1}{5} \cdot {(- 4.61803398)}^{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 4.61803398)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4.61803398)}^{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Schritt 4.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.1

Potenziere $- 4.61803398$ mit $5$ .

$f (- 4.61803398) = \frac{1}{5} \cdot - 2100.32075981 + \frac{7}{2} \cdot {(- 4.61803398)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4.61803398)}^{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Schritt 4.5.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 2100.32075981$ .

$f (- 4.61803398) = \frac{- 2100.32075981}{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 4.61803398)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4.61803398)}^{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Schritt 4.5.2.1.3

Dividiere $- 2100.32075981$ durch $5$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + \frac{7}{2} \cdot {(- 4.61803398)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4.61803398)}^{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Schritt 4.5.2.1.4

Potenziere $- 4.61803398$ mit $4$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + \frac{7}{2} \cdot 454.80842387 + \frac{71}{3} \cdot {(- 4.61803398)}^{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Schritt 4.5.2.1.5

Multipliziere $\frac{7}{2} \cdot 454.80842387$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.5.1

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $454.80842387$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + \frac{7 \cdot 454.80842387}{2} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4.61803398)}^{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Schritt 4.5.2.1.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $454.80842387$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + \frac{3183.65896711}{2} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4.61803398)}^{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Schritt 4.5.2.1.6

Dividiere $3183.65896711$ durch $2$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + 1591.82948355 + \frac{71}{3} \cdot {(- 4.61803398)}^{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Schritt 4.5.2.1.7

Potenziere $- 4.61803398$ mit $3$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + 1591.82948355 + \frac{71}{3} \cdot - 98.48529157 + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Schritt 4.5.2.1.8

Multipliziere $\frac{71}{3} \cdot - 98.48529157$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.8.1

Kombiniere $\frac{71}{3}$ und $- 98.48529157$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + 1591.82948355 + \frac{71 \cdot - 98.48529157}{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Schritt 4.5.2.1.8.2

Mutltipliziere $71$ mit $- 98.48529157$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + 1591.82948355 + \frac{- 6992.45570164}{3} + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Schritt 4.5.2.1.9

Dividiere $- 6992.45570164$ durch $3$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + 1591.82948355 - 2330.81856721 + 77 {(- 4.61803398)}^{2} + 120 (- 4.61803398)$

Schritt 4.5.2.1.10

Potenziere $- 4.61803398$ mit $2$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + 1591.82948355 - 2330.81856721 + 77 \cdot 21.32623792 + 120 (- 4.61803398)$

Schritt 4.5.2.1.11

Mutltipliziere $77$ mit $21.32623792$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + 1591.82948355 - 2330.81856721 + 1642.12031993 + 120 (- 4.61803398)$

Schritt 4.5.2.1.12

Mutltipliziere $120$ mit $- 4.61803398$ .

$f (- 4.61803398) = - 420.06415196 + 1591.82948355 - 2330.81856721 + 1642.12031993 - 554.16407864$

Schritt 4.5.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.1

Addiere $- 420.06415196$ und $1591.82948355$ .

$f (- 4.61803398) = 1171.76533159 - 2330.81856721 + 1642.12031993 - 554.16407864$

Schritt 4.5.2.2.2

Subtrahiere $2330.81856721$ von $1171.76533159$ .

$f (- 4.61803398) = - 1159.05323562 + 1642.12031993 - 554.16407864$

Schritt 4.5.2.2.3

Addiere $- 1159.05323562$ und $1642.12031993$ .

$f (- 4.61803398) = 483.06708431 - 554.16407864$

Schritt 4.5.2.2.4

Subtrahiere $554.16407864$ von $483.06708431$ .

$f (- 4.61803398) = - 71.09699433$

Schritt 4.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 71.09699433$ .

$- 71.09699433$

Schritt 4.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 4.61803398$ in $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ ermittelt werden kann, ist $(- 4.61803398, - 71.09699433)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 4.61803398, - 71.09699433)$

Schritt 4.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(- \frac{7}{2}, - \frac{4277}{60}), (- 2.38196601, - 71.46967233), (- 4.61803398, - 71.09699433)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 4.61803398) \cup (- 4.61803398, - \frac{7}{2}) \cup (- \frac{7}{2}, - 2.38196601) \cup (- 2.38196601, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 4.61803398)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4.71803398$ .

$f'' (- 4.71803398) = 4 {(- 4.71803398)}^{3} + 42 {(- 4.71803398)}^{2} + 142 (- 4.71803398) + 154$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 4.71803398$ mit $3$ .

$f'' (- 4.71803398) = 4 \cdot - 105.02270396 + 42 {(- 4.71803398)}^{2} + 142 (- 4.71803398) + 154$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 105.02270396$ .

$f'' (- 4.71803398) = - 420.09081587 + 42 {(- 4.71803398)}^{2} + 142 (- 4.71803398) + 154$

Schritt 6.2.1.3

Potenziere $- 4.71803398$ mit $2$ .

$f'' (- 4.71803398) = - 420.09081587 + 42 \cdot 22.25984471 + 142 (- 4.71803398) + 154$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $42$ mit $22.25984471$ .

$f'' (- 4.71803398) = - 420.09081587 + 934.91347819 + 142 (- 4.71803398) + 154$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $142$ mit $- 4.71803398$ .

$f'' (- 4.71803398) = - 420.09081587 + 934.91347819 - 669.9608264 + 154$

Schritt 6.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 6.2.2.1

Addiere $- 420.09081587$ und $934.91347819$ .

$f'' (- 4.71803398) = 514.82266232 - 669.9608264 + 154$

Schritt 6.2.2.2

Subtrahiere $669.9608264$ von $514.82266232$ .

$f'' (- 4.71803398) = - 155.13816407 + 154$

Schritt 6.2.2.3

Addiere $- 155.13816407$ und $154$ .

$f'' (- 4.71803398) = - 1.13816407$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1.13816407$ .

$- 1.13816407$

Schritt 6.3

Bei $- 4.71803398$ , die zweite Ableitung ist $- 1.13816407$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 4.61803398)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 4.61803398)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 4.61803398, - \frac{7}{2})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4.05901699$ .

$f'' (- 4.05901699) = 4 {(- 4.05901699)}^{3} + 42 {(- 4.05901699)}^{2} + 142 (- 4.05901699) + 154$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 4.05901699$ mit $3$ .

$f'' (- 4.05901699) = 4 \cdot - 66.87481735 + 42 {(- 4.05901699)}^{2} + 142 (- 4.05901699) + 154$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 66.87481735$ .

$f'' (- 4.05901699) = - 267.49926941 + 42 {(- 4.05901699)}^{2} + 142 (- 4.05901699) + 154$

Schritt 7.2.1.3

Potenziere $- 4.05901699$ mit $2$ .

$f'' (- 4.05901699) = - 267.49926941 + 42 \cdot 16.47561896 + 142 (- 4.05901699) + 154$

Schritt 7.2.1.4

Mutltipliziere $42$ mit $16.47561896$ .

$f'' (- 4.05901699) = - 267.49926941 + 691.97599634 + 142 (- 4.05901699) + 154$

Schritt 7.2.1.5

Mutltipliziere $142$ mit $- 4.05901699$ .

$f'' (- 4.05901699) = - 267.49926941 + 691.97599634 - 576.3804132 + 154$

Schritt 7.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 7.2.2.1

Addiere $- 267.49926941$ und $691.97599634$ .

$f'' (- 4.05901699) = 424.47672693 - 576.3804132 + 154$

Schritt 7.2.2.2

Subtrahiere $576.3804132$ von $424.47672693$ .

$f'' (- 4.05901699) = - 151.90368627 + 154$

Schritt 7.2.2.3

Addiere $- 151.90368627$ und $154$ .

$f'' (- 4.05901699) = 2.09631372$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $2.09631372$ .

$2.09631372$

Schritt 7.3

Bei $- 4.05901699$ ist die zweite Ableitung $2.09631372$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 4.61803398, - \frac{7}{2})$ .

Ansteigend im Intervall $(- 4.61803398, - \frac{7}{2})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \frac{7}{2}, - 2.38196601)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.940983$ .

$f'' (- 2.940983) = 4 {(- 2.940983)}^{3} + 42 {(- 2.940983)}^{2} + 142 (- 2.940983) + 154$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1.1

Potenziere $- 2.940983$ mit $3$ .

$f'' (- 2.940983) = 4 \cdot - 25.43768264 + 42 {(- 2.940983)}^{2} + 142 (- 2.940983) + 154$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 25.43768264$ .

$f'' (- 2.940983) = - 101.75073058 + 42 {(- 2.940983)}^{2} + 142 (- 2.940983) + 154$

Schritt 8.2.1.3

Potenziere $- 2.940983$ mit $2$ .

$f'' (- 2.940983) = - 101.75073058 + 42 \cdot 8.64938103 + 142 (- 2.940983) + 154$

Schritt 8.2.1.4

Mutltipliziere $42$ mit $8.64938103$ .

$f'' (- 2.940983) = - 101.75073058 + 363.27400365 + 142 (- 2.940983) + 154$

Schritt 8.2.1.5

Mutltipliziere $142$ mit $- 2.940983$ .

$f'' (- 2.940983) = - 101.75073058 + 363.27400365 - 417.61958679 + 154$

Schritt 8.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 8.2.2.1

Addiere $- 101.75073058$ und $363.27400365$ .

$f'' (- 2.940983) = 261.52327306 - 417.61958679 + 154$

Schritt 8.2.2.2

Subtrahiere $417.61958679$ von $261.52327306$ .

$f'' (- 2.940983) = - 156.09631372 + 154$

Schritt 8.2.2.3

Addiere $- 156.09631372$ und $154$ .

$f'' (- 2.940983) = - 2.09631372$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 2.09631372$ .

$- 2.09631372$

Schritt 8.3

Bei $- 2.940983$ , die zweite Ableitung ist $- 2.09631372$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \frac{7}{2}, - 2.38196601)$

Abfallend im Intervall $(- \frac{7}{2}, - 2.38196601)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 2.38196601, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.28196601$ .

$f'' (- 2.28196601) = 4 {(- 2.28196601)}^{3} + 42 {(- 2.28196601)}^{2} + 142 (- 2.28196601) + 154$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1.1

Potenziere $- 2.28196601$ mit $3$ .

$f'' (- 2.28196601) = 4 \cdot - 11.88303878 + 42 {(- 2.28196601)}^{2} + 142 (- 2.28196601) + 154$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 11.88303878$ .

$f'' (- 2.28196601) = - 47.53215513 + 42 {(- 2.28196601)}^{2} + 142 (- 2.28196601) + 154$

Schritt 9.2.1.3

Potenziere $- 2.28196601$ mit $2$ .

$f'' (- 2.28196601) = - 47.53215513 + 42 \cdot 5.20736887 + 142 (- 2.28196601) + 154$

Schritt 9.2.1.4

Mutltipliziere $42$ mit $5.20736887$ .

$f'' (- 2.28196601) = - 47.53215513 + 218.70949281 + 142 (- 2.28196601) + 154$

Schritt 9.2.1.5

Mutltipliziere $142$ mit $- 2.28196601$ .

$f'' (- 2.28196601) = - 47.53215513 + 218.70949281 - 324.03917359 + 154$

Schritt 9.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 9.2.2.1

Addiere $- 47.53215513$ und $218.70949281$ .

$f'' (- 2.28196601) = 171.17733767 - 324.03917359 + 154$

Schritt 9.2.2.2

Subtrahiere $324.03917359$ von $171.17733767$ .

$f'' (- 2.28196601) = - 152.86183592 + 154$

Schritt 9.2.2.3

Addiere $- 152.86183592$ und $154$ .

$f'' (- 2.28196601) = 1.13816407$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $1.13816407$ .

$1.13816407$

Schritt 9.3

Bei $- 2.28196601$ ist die zweite Ableitung $1.13816407$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- 2.38196601, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(- 2.38196601, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 10

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- 4.61803398, - 71.09699433), (- \frac{7}{2}, - \frac{4277}{60}), (- 2.38196601, - 71.46967233)$ .

$(- 4.61803398, - 71.09699433), (- \frac{7}{2}, - \frac{4277}{60}), (- 2.38196601, - 71.46967233)$

Schritt 11