Analysis Beispiele

$f (x) = 10 x \ln (| x |)$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x \ln (| x |)$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (| x |)$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = | x |$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $| x |$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $| x |$ .

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4

Kombiniere $\frac{1}{| x |}$ und $x$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.5

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $\frac{x}{| x |}$ mit $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.10

Addiere $1$ und $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.11

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.15

Addiere $1$ und $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

Schritt 1.17

Mutltipliziere $\ln (| x |)$ mit $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

Schritt 1.18

Vereinfache.

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Schritt 1.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Schritt 1.18.2

Kombiniere $10$ und $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ .

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Schritt 1.18.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.18.3.1

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Schritt 1.18.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.18.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Schritt 1.18.3.2.2

Dividiere $10$ durch $1$ .

$10 + 10 \ln (| x |)$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 + 10 \ln (| x |)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10) + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

Schritt 2.1.2

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (10 \ln (| x |))$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 \ln (| x |)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 \ln (| x |)$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$f'' (x) = 0 + 10 \frac{d}{d x} (\ln (| x |))$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = | x |$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $| x |$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (| x |))$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $| x |$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (| x |))$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |})$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{| x |}$ mit $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x | | x |})$

Schritt 2.2.5

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

Schritt 2.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

Schritt 2.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x \cdot x |})$

Schritt 2.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{1 + 1} |})$

Schritt 2.2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 0 + 10 (\frac{x}{| x^{2} |})$

Schritt 2.2.10

Kombiniere $10$ und $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{10 x}{| x^{2} |}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Addiere $0$ und $\frac{10 x}{| x^{2} |}$ .

$f'' (x) = \frac{10 x}{| x^{2} |}$

Schritt 2.3.2

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$f'' (x) = \frac{10 x}{x^{2}}$

Schritt 2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $10 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x^{2}}$

Schritt 2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{x \cdot 10}{x \cdot x}$

Schritt 2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{10}{x}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 x \ln (| x |)$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x \ln (| x |)]$

Schritt 4.1.2

$10 (x \frac{d}{d x} [\ln (| x |)] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = | x |$ .

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Schritt 4.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $| x |$ .

$10 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$10 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $| x |$ .

$10 (x (\frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]) + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.4

Kombiniere $\frac{1}{| x |}$ und $x$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |] + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.5

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $\frac{x}{| x |}$ mit $\frac{x}{| x |}$ .

$10 (\frac{x \cdot x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 (\frac{x^{1} x^{1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 (\frac{x^{1 + 1}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.10

Addiere $1$ und $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x | | x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.11

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$10 (\frac{x^{2}}{| x \cdot x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1} x^{1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{1 + 1} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.15

Addiere $1$ und $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |) \cdot 1)$

Schritt 4.1.17

Mutltipliziere $\ln (| x |)$ mit $1$ .

$10 (\frac{x^{2}}{| x^{2} |} + \ln (| x |))$

Schritt 4.1.18

Vereinfache.

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Schritt 4.1.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 \frac{x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Schritt 4.1.18.2

Kombiniere $10$ und $\frac{x^{2}}{| x^{2} |}$ .

$\frac{10 x^{2}}{| x^{2} |} + 10 \ln (| x |)$

Schritt 4.1.18.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.18.3.1

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Schritt 4.1.18.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.1.18.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + 10 \ln (| x |)$

Schritt 4.1.18.3.2.2

Dividiere $10$ durch $1$ .

$f' (x) = 10 + 10 \ln (| x |)$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $10 + 10 \ln (| x |)$ .

$10 + 10 \ln (| x |)$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $10 + 10 \ln (| x |) = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$10 + 10 \ln (| x |) = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 \ln (| x |) = - 10$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $10 \ln (| x |) = - 10$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $10 \ln (| x |) = - 10$ durch $10$ .

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 \ln (| x |)}{10} = \frac{- 10}{10}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $\ln (| x |)$ durch $1$ .

$\ln (| x |) = \frac{- 10}{10}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividiere $- 10$ durch $10$ .

$\ln (| x |) = - 1$

Schritt 5.4

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| x |)} = e^{- 1}$

Schritt 5.5

Schreibe $\ln (| x |) = - 1$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = | x |$

Schritt 5.6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.6.1

Schreibe die Gleichung als $| x | = e^{- 1}$ um.

$| x | = e^{- 1}$

Schritt 5.6.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$| x | = \frac{1}{e}$

Schritt 5.6.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm \frac{1}{e}$

Schritt 5.6.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.6.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{e}$

Schritt 5.6.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{e}$

Schritt 5.6.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze das Argument in $\ln (| x |)$ kleiner oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| x | \leq 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $| x | \leq 0$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 6.2.1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 6.2.1.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 0$

Schritt 6.2.1.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 6.2.1.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 0$

Schritt 6.2.1.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 6.2.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 0$ und $x \geq 0$ .

$x = 0$

Schritt 6.2.3

Löse $- x \leq 0$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 6.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 0$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.3.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 0$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Schritt 6.2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 1$ .

$x \geq 0$

Schritt 6.2.3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 0$ und $x < 0$ .

Keine Lösung

Schritt 6.2.4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{e}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{10}{\frac{1}{e}}$

Schritt 9

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$10 e$

Schritt 10

$x = \frac{1}{e}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{e}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{e}$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = 10 (\frac{1}{e}) \ln (| \frac{1}{e} |)$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Kombiniere $10$ und $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (| \frac{1}{e} |)$

Schritt 11.2.2

$\frac{1}{e}$ ist ungefähr $0.36787944$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

Schritt 11.2.3

Schreibe $\frac{1}{e}$ als $1 e^{- 1}$ um.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Schritt 11.2.4

Schreibe $\ln (1 e^{- 1})$ als $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ um.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Schritt 11.2.5

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Schritt 11.2.6

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Schritt 11.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Schritt 11.2.8

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

Schritt 11.2.9

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10}{e} \cdot - 1$

Schritt 11.2.10

Multipliziere $\frac{10}{e} \cdot - 1$ .

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Schritt 11.2.10.1

Kombiniere $\frac{10}{e}$ und $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{10 \cdot - 1}{e}$

Schritt 11.2.10.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e}$

Schritt 11.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{10}{e}$

Schritt 11.2.12

Die endgültige Lösung ist $- \frac{10}{e}$ .

$y = - \frac{10}{e}$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{1}{e}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{10}{- \frac{1}{e}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$10 (- e)$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$- 10 e$

Schritt 14

$x = - \frac{1}{e}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{1}{e}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{1}{e}$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = 10 (- \frac{1}{e}) \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Multipliziere $10 (- \frac{1}{e})$ .

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Schritt 15.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - 10 \frac{1}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Schritt 15.2.1.2

Kombiniere $- 10$ und $\frac{1}{e}$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{- 10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Schritt 15.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (| - \frac{1}{e} |)$

Schritt 15.2.3

$- \frac{1}{e}$ ist ungefähr $- 0.36787944$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{1}{e}$ um und entferne den Absolutwert

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

Schritt 15.2.4

Schreibe $\frac{1}{e}$ als $1 e^{- 1}$ um.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Schritt 15.2.5

Schreibe $\ln (1 e^{- 1})$ als $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ um.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Schritt 15.2.6

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- 1$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Schritt 15.2.7

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Schritt 15.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Schritt 15.2.9

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot (0 - 1)$

Schritt 15.2.10

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{10}{e} \cdot - 1$

Schritt 15.2.11

Multipliziere $- \frac{10}{e} \cdot - 1$ .

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Schritt 15.2.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = 1 (\frac{10}{e})$

Schritt 15.2.11.2

Mutltipliziere $\frac{10}{e}$ mit $1$ .

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{10}{e}$

Schritt 15.2.12

Die endgültige Lösung ist $\frac{10}{e}$ .

$y = \frac{10}{e}$

Schritt 16

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 10 x \ln (| x |)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{10}{e})$ ist ein lokales Minimum

$(- \frac{1}{e}, \frac{10}{e})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17