Analysis Beispiele

$6 x^{\frac{4}{3}} - 7 x^{\frac{1}{3}} + 8$

Schritt 1

Schreibe $6 x^{\frac{4}{3}} - 7 x^{\frac{1}{3}} + 8$ als Funktion.

$f (x) = 6 x^{\frac{4}{3}} - 7 x^{\frac{1}{3}} + 8$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{\frac{4}{3}} - 7 x^{\frac{1}{3}} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{\frac{4}{3}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x^{\frac{1}{3}}$ .

$6 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $6$ und $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{6 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\frac{24 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2.10

Faktorisiere $3$ aus $24 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.11.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.2.11.4

Dividiere $8 x^{\frac{1}{3}}$ durch $1$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.3.9

Kombiniere $- 7$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 7 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.3.10

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 7}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ und $0$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.2.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.2.9

Kombiniere $8$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.2.10

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- \frac{7}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{7}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 3.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Schritt 3.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 3.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 3.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 3.3.5.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 3.3.5.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 3.3.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 3.3.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 3.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Schritt 3.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 3.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 3.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Schritt 3.3.9.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Schritt 3.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Schritt 3.3.11

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.12

Kombiniere $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.13

Multipliziere $x^{- \frac{1}{3}}$ mit $x^{- \frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.13.1

Bewege $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Schritt 3.3.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.13.4

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.13.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Schritt 3.3.14

Bringe $x^{- \frac{5}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{7}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Schritt 3.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 (\frac{7}{3}) \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3.3.16

Mutltipliziere $\frac{7}{3}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3.3.17

Mutltipliziere $\frac{7}{3}$ mit $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{7 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Schritt 3.3.18

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{14}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Schritt 3.3.19

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{8}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{14}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{\frac{4}{3}} - 7 x^{\frac{1}{3}} + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{4}{3}}]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{\frac{4}{3}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$6 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.2.7

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x^{\frac{1}{3}}$ .

$6 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.2.8

Kombiniere $6$ und $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{6 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.2.9

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$\frac{24 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.2.10

Faktorisiere $3$ aus $24 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.11.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (8 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.2.11.4

Dividiere $8 x^{\frac{1}{3}}$ durch $1$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 7 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.3.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - 7 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.3.9

Kombiniere $- 7$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 7 x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.3.10

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + \frac{- 7}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [8]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ und $0$ .

$f' (x) = 8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 6.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

Schritt 6.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$3 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Term in $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ mit $3 x^{\frac{2}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Term in $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ mit $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{2}{3}}) - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$8 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.2.1.2.1

Bewege $x^{\frac{2}{3}}$ .

$8 \cdot 3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 \cdot 3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 \cdot 3 x^{\frac{2 + 1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$8 \cdot 3 x^{\frac{3}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.2.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$8 \cdot 3 x^{1} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.3

Vereinfache $8 \cdot 3 x^{1}$ .

$8 \cdot 3 x - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.4

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$24 x - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 6.3.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ in den Zähler.

$24 x + \frac{- 7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 x + \frac{- 7}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$24 x - 7 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere $0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ .

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Schritt 6.3.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$24 x - 7 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 6.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ .

$24 x - 7 = 0$

Schritt 6.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$24 x = 7$

Schritt 6.4.2

Teile jeden Ausdruck in $24 x = 7$ durch $24$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $24 x = 7$ durch $24$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{7}{24}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $24$ .

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Schritt 6.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{24 x}{24} = \frac{7}{24}$

Schritt 6.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{24}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 7.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$8 \sqrt[3]{x^{1}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 7.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$8 \sqrt[3]{x^{1}} - \frac{7}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 7.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$8 \sqrt[3]{x} - \frac{7}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 7.2

Setze den Nenner in $\frac{7}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Schritt 7.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 7.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{2}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Schritt 7.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x^{2} = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x^{2} = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 7.3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 7.3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 7.3.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Schritt 7.3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 7.3.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7.3.3.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 7.3.3.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.3.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 7.3.3.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{7}{24}, 0$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{7}{24}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{8}{3 {(\frac{7}{24})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{14}{9 {(\frac{7}{24})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{24}$ an.

$\frac{8}{3 \frac{7^{\frac{2}{3}}}{24^{\frac{2}{3}}}} + \frac{14}{9 {(\frac{7}{24})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{7^{\frac{2}{3}}}{24^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{8}{\frac{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{24^{\frac{2}{3}}}} + \frac{14}{9 {(\frac{7}{24})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$8 \frac{24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}} + \frac{14}{9 {(\frac{7}{24})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.1.4

Kombiniere $8$ und $\frac{24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}} + \frac{14}{9 {(\frac{7}{24})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.1.5

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{24}$ an.

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}} + \frac{14}{9 \frac{7^{\frac{5}{3}}}{24^{\frac{5}{3}}}}$

Schritt 10.1.6

Kombiniere $9$ und $\frac{7^{\frac{5}{3}}}{24^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}} + \frac{14}{\frac{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{24^{\frac{5}{3}}}}$

Schritt 10.1.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}} + 14 \frac{24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.1.8

Kombiniere $14$ und $\frac{24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}} + \frac{14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.2

Um $\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}$ .

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{3 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{3}{3}}} + \frac{14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}$ mit $\frac{3 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{3}{3}}}$ .

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{\frac{3}{3}})}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{\frac{3}{3}})} + \frac{14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{\frac{3}{3}})}{9 \cdot 7^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{3}}} + \frac{14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.3.3

Multipliziere $7^{\frac{2}{3}}$ mit $7^{\frac{3}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.3.1

Bewege $7^{\frac{3}{3}}$ .

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{\frac{3}{3}})}{9 \cdot (7^{\frac{3}{3}} \cdot 7^{\frac{2}{3}})} + \frac{14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.3.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{\frac{3}{3}})}{9 \cdot 7^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}} + \frac{14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{\frac{3}{3}})}{9 \cdot 7^{\frac{3 + 2}{3}}} + \frac{14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.3.3.4

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{\frac{3}{3}})}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}} + \frac{14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{\frac{3}{3}}) + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{\frac{3}{3}}) + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} (3 \cdot 7^{1}) + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.1

Multipliziere $8 \cdot 24^{\frac{2}{3}} \cdot 3$ .

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Schritt 10.5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{24 \cdot 24^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{1} + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.5.1.2

Multipliziere $24$ mit $24^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.5.1.2.1

Mutltipliziere $24$ mit $24^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 10.5.1.2.1.1

Potenziere $24$ mit $1$ .

$\frac{24^{1} \cdot 24^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{1} + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.5.1.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{24^{1 + \frac{2}{3}} \cdot 7^{1} + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.5.1.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{24^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 7^{1} + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.5.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{24^{\frac{3 + 2}{3}} \cdot 7^{1} + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.5.1.2.4

Addiere $3$ und $2$ .

$\frac{24^{\frac{5}{3}} \cdot 7^{1} + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.5.2

Berechne den Exponenten.

$\frac{24^{\frac{5}{3}} \cdot 7 + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.5.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $24^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{7 \cdot 24^{\frac{5}{3}} + 14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.5.4

Addiere $7 \cdot 24^{\frac{5}{3}}$ und $14 \cdot 24^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{21 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.6

Faktorisiere $3$ aus $21 \cdot 24^{\frac{5}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (7 \cdot 24^{\frac{5}{3}})}{9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.7.1

Faktorisiere $3$ aus $9 \cdot 7^{\frac{5}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (7 \cdot 24^{\frac{5}{3}})}{3 (3 \cdot 7^{\frac{5}{3}})}$

Schritt 10.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (7 \cdot 24^{\frac{5}{3}})}{3 (3 \cdot 7^{\frac{5}{3}})}$

Schritt 10.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7 \cdot 24^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 10.8

Bringe $7^{1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{24^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{5}{3}} \cdot 7^{- 1}}$

Schritt 10.9

Multipliziere $7^{\frac{5}{3}}$ mit $7^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.9.1

Bewege $7^{- 1}$ .

$\frac{24^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot (7^{- 1} \cdot 7^{\frac{5}{3}})}$

Schritt 10.9.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{24^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 7^{- 1 + \frac{5}{3}}}$

Schritt 10.9.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 7^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}}}$

Schritt 10.9.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{24^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}}}$

Schritt 10.9.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{24^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{- 1 \cdot 3 + 5}{3}}}$

Schritt 10.9.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.9.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{24^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{- 3 + 5}{3}}}$

Schritt 10.9.6.2

Addiere $- 3$ und $5$ .

$\frac{24^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 11

$x = \frac{7}{24}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{7}{24}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{7}{24}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{7}{24}$ .

$f (\frac{7}{24}) = 6 {(\frac{7}{24})}^{\frac{4}{3}} - 7 {(\frac{7}{24})}^{\frac{1}{3}} + 8$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{24}$ an.

$f (\frac{7}{24}) = 6 (\frac{7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}}) - 7 {(\frac{7}{24})}^{\frac{1}{3}} + 8$

Schritt 12.2.1.2

Kombiniere $6$ und $\frac{7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}}$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} - 7 {(\frac{7}{24})}^{\frac{1}{3}} + 8$

Schritt 12.2.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{24}$ an.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} - 7 \frac{7^{\frac{1}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.1.4

Multipliziere $- 7 \frac{7^{\frac{1}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}}$ .

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Schritt 12.2.1.4.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{7^{\frac{1}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}}$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 7 \cdot 7^{\frac{1}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.1.4.2

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + \frac{- (7 \cdot 7^{\frac{1}{3}})}{24^{\frac{1}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.1.4.3

Potenziere $7$ mit $1$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + \frac{- (7 \cdot 7^{\frac{1}{3}})}{24^{\frac{1}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 7^{1 + \frac{1}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.1.4.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 7^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.1.4.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 7^{\frac{3 + 1}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.1.4.7

Addiere $3$ und $1$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + \frac{- 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} - \frac{7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.2

Um $- \frac{7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{24^{\frac{3}{3}}}{24^{\frac{3}{3}}}$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} - \frac{7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{24^{\frac{3}{3}}}{24^{\frac{3}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $24^{\frac{4}{3}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 12.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{24^{\frac{3}{3}}}{24^{\frac{3}{3}}}$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} - \frac{7^{\frac{4}{3}} \cdot 24^{\frac{3}{3}}}{24^{\frac{1}{3}} \cdot 24^{\frac{3}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.3.2

Multipliziere $24^{\frac{1}{3}}$ mit $24^{\frac{3}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.2.3.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} - \frac{7^{\frac{4}{3}} \cdot 24^{\frac{3}{3}}}{24^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} - \frac{7^{\frac{4}{3}} \cdot 24^{\frac{3}{3}}}{24^{\frac{1 + 3}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.3.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} - \frac{7^{\frac{4}{3}} \cdot 24^{\frac{3}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}} - 7^{\frac{4}{3}} \cdot 24^{\frac{3}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}} - 7^{\frac{4}{3}} \cdot 24^{\frac{3}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}} - 7^{\frac{4}{3}} \cdot 24}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.2.5.2.1

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}} - 7^{\frac{4}{3}} \cdot 24}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.5.2.2

Mutltipliziere $24$ mit $- 1$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{6 \cdot 7^{\frac{4}{3}} - 24 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.5.2.3

Subtrahiere $24 \cdot 7^{\frac{4}{3}}$ von $6 \cdot 7^{\frac{4}{3}}$ .

$f (\frac{7}{24}) = \frac{- 18 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{7}{24}) = - \frac{18 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$

Schritt 12.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{18 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$ .

$y = - \frac{18 \cdot 7^{\frac{4}{3}}}{24^{\frac{4}{3}}} + 8$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{8}{3 {(0)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{14}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$\frac{8}{3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}} + \frac{14}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 14.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} + \frac{14}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} + \frac{14}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 14.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8}{3 \cdot 0^{2}} + \frac{14}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 14.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{8}{3 \cdot 0} + \frac{14}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{8}{0} + \frac{14}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 14.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{8}{0} + \frac{14}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 14.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 15

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 15.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{7}{24}) \cup (\frac{7}{24}, \infty)$

Schritt 15.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = 8 {(- 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.2.2

Die endgültige Lösung ist $8 {(- 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$8 {(- 2)}^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $0.15$ , aus dem Intervall $(0, \frac{7}{24})$ in die erste Ableitung $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.15$ .

$f' (0.15) = 8 {(0.15)}^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 {(0.15)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.3.2.1.1

Potenziere $0.15$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.15) = 8 \cdot 0.53132928 - \frac{7}{3 {(0.15)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.3.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $0.53132928$ .

$f' (0.15) = 4.25063427 - \frac{7}{3 {(0.15)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.3.2.1.3

Potenziere $0.15$ mit $\frac{2}{3}$ .

$f' (0.15) = 4.25063427 - \frac{7}{3 \cdot 0.2823108}$

Schritt 15.3.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $0.2823108$ .

$f' (0.15) = 4.25063427 - \frac{7}{0.84693242}$

Schritt 15.3.2.1.5

Dividiere $7$ durch $0.84693242$ .

$f' (0.15) = 4.25063427 - 1 \cdot 8.2651222$

Schritt 15.3.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $8.2651222$ .

$f' (0.15) = 4.25063427 - 8.2651222$

Schritt 15.3.2.2

Subtrahiere $8.2651222$ von $4.25063427$ .

$f' (0.15) = - 4.01448792$

Schritt 15.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 4.01448792$ .

$- 4.01448792$

Schritt 15.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $3$ , aus dem Intervall $(\frac{7}{24}, \infty)$ in die erste Ableitung $8 x^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 15.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = 8 {(3)}^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 {(3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.4.2.1

Multipliziere $3$ mit ${(3)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.4.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit ${(3)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 15.4.2.1.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f' (3) = 8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3 {(3)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 15.4.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (3) = 8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3^{1 + \frac{2}{3}}}$

Schritt 15.4.2.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f' (3) = 8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}$

Schritt 15.4.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (3) = 8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3^{\frac{3 + 2}{3}}}$

Schritt 15.4.2.1.4

Addiere $3$ und $2$ .

$f' (3) = 8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 15.4.2.2

Die endgültige Lösung ist $8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3^{\frac{5}{3}}}$ .

$8 \cdot 3^{\frac{1}{3}} - \frac{7}{3^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 15.5

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 0$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 15.6

Da die erste Ableitung um $x = \frac{7}{24}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = \frac{7}{24}$ ein lokales Minimum.

$x = \frac{7}{24}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16