Analysis Beispiele

$\frac{16 x^{2} + 25}{x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{16 x^{2} + 25}{x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{16 x^{2} + 25}{x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 16 x^{2} + 25$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 25] - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x^{2} + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2.2

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{2}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$\frac{x (32 x + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2.5

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (32 x + 0) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.2.6

Addiere $32 x$ und $0$ .

$\frac{x (32 x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x^{1}) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{32 x^{1 + 1} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Schritt 2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2}) - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Schritt 2.9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.9.2.1.1

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Schritt 2.9.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Schritt 2.9.2.2

Subtrahiere $16 x^{2}$ von $32 x^{2}$ .

$\frac{16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Schritt 2.9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.3.1

Schreibe $16 x^{2}$ als ${(4 x)}^{2}$ um.

$\frac{{(4 x)}^{2} - 25}{x^{2}}$

Schritt 2.9.3.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{{(4 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Schritt 2.9.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4 x$ und $b = 5$ .

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((4 x + 5) (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((4 x + 5) (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((4 x + 5) (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 4 x + 5$ und $g (x) = 4 x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) \frac{d}{d x} (4 x - 5) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) (4 + 0) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} ((4 x + 5) \cdot 4 + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.6.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $4 x + 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 \cdot (4 x + 5) + (4 x - 5) \frac{d}{d x} (4 x + 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 + \frac{d}{d x} (5))) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.11

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) (4 + 0)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.12.1

Addiere $4$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + (4 x - 5) \cdot 4) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.12.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $4 x - 5$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 \cdot (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 3.4.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - (4 x + 5) (4 x - 5) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 3.4.14

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.4.14.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x}{x^{4}}$

Schritt 3.4.14.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x$ heraus.

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Schritt 3.4.14.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x}{x^{4}}$

Schritt 3.4.14.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (4 x + 5) (4 x - 5) x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))) + x (- 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x^{4}}$

Schritt 3.4.14.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5))) + x (- 2 (4 x + 5) (4 x - 5))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x^{4}}$

Schritt 3.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{x (x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x + 5) + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x) + 4 \cdot 5 + 4 (4 x - 5)) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x) + 4 \cdot 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x)) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) - 2 (4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (4 (4 x)) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{4 \cdot (4 x \cdot x) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.5.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot (4 (x \cdot x)) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot (4 x^{2}) + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + x (4 \cdot 5) + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + x \cdot 20 + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.5

Bringe $20$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 \cdot x + x (4 (4 x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 4 \cdot (4 x \cdot x) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.5.1.7.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 4 \cdot (4 (x \cdot x)) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 4 \cdot (4 x^{2}) + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} + x (4 \cdot - 5) + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} + x \cdot - 20 + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.10

Bringe $- 20$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 \cdot x + (- 2 (4 x) - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.5.1.11.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x + (- 8 x - 2 \cdot 5) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.11.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x + (- 8 x - 10) (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.12

Multipliziere $(- 8 x - 10) (4 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.6.5.1.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 x (4 x - 5) - 10 (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x - 5)}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.6.5.1.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.5.1.13.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 \cdot (4 x \cdot x) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.13.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.6.5.1.13.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 \cdot (4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.13.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 8 \cdot (4 x^{2}) - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.13.1.3

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 5 - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.13.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 40 x - 10 (4 x) - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.13.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 10$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 40 x - 40 x - 10 \cdot - 5}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.13.1.6

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 40 x - 40 x + 50}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.13.2

Subtrahiere $40 x$ von $40 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 0 + 50}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.1.13.3

Addiere $- 32 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 x^{2} + 20 x + 16 x^{2} - 20 x - 32 x^{2} + 50$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.5.2.1

Subtrahiere $20 x$ von $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 16 x^{2} + 0 - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.2.2

Addiere $16 x^{2} + 16 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{16 x^{2} + 16 x^{2} - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.3

Addiere $16 x^{2}$ und $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{32 x^{2} - 32 x^{2} + 50}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.4

Subtrahiere $32 x^{2}$ von $32 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 50}{x^{3}}$

Schritt 3.6.5.5

Addiere $0$ und $50$ .

$f'' (x) = \frac{50}{x^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 25] - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2

Differenziere.

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Schritt 5.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x^{2} + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2.2

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x^{2}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$\frac{x (32 x + \frac{d}{d x} [25]) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2.5

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (32 x + 0) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.2.6

Addiere $32 x$ und $0$ .

$\frac{x (32 x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{32 (x^{1} x^{1}) - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{32 x^{1 + 1} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 5.1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 5.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Schritt 5.1.9

Vereinfache.

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Schritt 5.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{32 x^{2} - (16 x^{2}) - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Schritt 5.1.9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.9.2.1.1

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Schritt 5.1.9.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$\frac{32 x^{2} - 16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Schritt 5.1.9.2.2

Subtrahiere $16 x^{2}$ von $32 x^{2}$ .

$\frac{16 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Schritt 5.1.9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.9.3.1

Schreibe $16 x^{2}$ als ${(4 x)}^{2}$ um.

$\frac{{(4 x)}^{2} - 25}{x^{2}}$

Schritt 5.1.9.3.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{{(4 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Schritt 5.1.9.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 4 x$ und $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$ .

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(4 x + 5) (4 x - 5) = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 x + 5 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Schritt 6.3.2

Setze $4 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.1

Setze $4 x + 5$ gleich $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Schritt 6.3.2.2

Löse $4 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 5$

Schritt 6.3.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Schritt 6.3.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Schritt 6.3.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Schritt 6.3.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{4}$

Schritt 6.3.3

Setze $4 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Setze $4 x - 5$ gleich $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Schritt 6.3.3.2

Löse $4 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 5$

Schritt 6.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 6.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 6.3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Schritt 6.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 x + 5) (4 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5}{4}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{(4 x + 5) (4 x - 5)}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 7.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5}{4}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{5}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{50}{{(- \frac{5}{4})}^{3}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{4}$ an.

$\frac{50}{{(- 1)}^{3} {(\frac{5}{4})}^{3}}$

Schritt 10.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{50}{- {(\frac{5}{4})}^{3}}$

Schritt 10.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{4}$ an.

$\frac{50}{- \frac{5^{3}}{4^{3}}}$

Schritt 10.1.4

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{50}{- \frac{125}{4^{3}}}$

Schritt 10.1.5

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{50}{- \frac{125}{64}}$

Schritt 10.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$50 (- \frac{64}{125})$

Schritt 10.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 10.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{64}{125}$ in den Zähler.

$50 (\frac{- 64}{125})$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere $25$ aus $50$ heraus.

$25 (2) \frac{- 64}{125}$

Schritt 10.3.3

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$25 \cdot 2 \frac{- 64}{25 \cdot 5}$

Schritt 10.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 \cdot 2 \frac{- 64}{25 \cdot 5}$

Schritt 10.3.5

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{- 64}{5})$

Schritt 10.4

Kombiniere $2$ und $\frac{- 64}{5}$ .

$\frac{2 \cdot - 64}{5}$

Schritt 10.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 10.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 64$ .

$\frac{- 128}{5}$

Schritt 10.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{128}{5}$

Schritt 11

$x = - \frac{5}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{5}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{5}{4}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{5}{4}$ .

$f (- \frac{5}{4}) = \frac{16 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 25}{- \frac{5}{4}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{5}{4}) = (16 {(- \frac{5}{4})}^{2} + 25) (- \frac{4}{5})$

Schritt 12.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 12.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{4}$ an.

$f (- \frac{5}{4}) = (16 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{4})}^{2}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Schritt 12.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{4}$ an.

$f (- \frac{5}{4}) = (16 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 25) (- \frac{4}{5})$

Schritt 12.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (1 (\frac{5^{2}}{4^{2}})) + 25) (- \frac{4}{5})$

Schritt 12.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{4^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Schritt 12.2.2.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{4^{2}}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Schritt 12.2.2.5

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Schritt 12.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 12.2.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (- \frac{4}{5})$

Schritt 12.2.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5}{4}) = (25 + 25) (- \frac{4}{5})$

Schritt 12.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.3.1

Addiere $25$ und $25$ .

$f (- \frac{5}{4}) = 50 (- \frac{4}{5})$

Schritt 12.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 12.2.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{5}$ in den Zähler.

$f (- \frac{5}{4}) = 50 (\frac{- 4}{5})$

Schritt 12.2.3.2.2

Faktorisiere $5$ aus $50$ heraus.

$f (- \frac{5}{4}) = 5 (10) (\frac{- 4}{5})$

Schritt 12.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{5}{4}) = 5 \cdot (10 (\frac{- 4}{5}))$

Schritt 12.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{5}{4}) = 10 \cdot - 4$

Schritt 12.2.3.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 4$ .

$f (- \frac{5}{4}) = - 40$

Schritt 12.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 40$ .

$y = - 40$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{5}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{50}{{(\frac{5}{4})}^{3}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{4}$ an.

$\frac{50}{\frac{5^{3}}{4^{3}}}$

Schritt 14.1.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$\frac{50}{\frac{125}{4^{3}}}$

Schritt 14.1.3

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{50}{\frac{125}{64}}$

Schritt 14.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$50 (\frac{64}{125})$

Schritt 14.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 14.3.1

Faktorisiere $25$ aus $50$ heraus.

$25 (2) \frac{64}{125}$

Schritt 14.3.2

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$25 \cdot 2 \frac{64}{25 \cdot 5}$

Schritt 14.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$25 \cdot 2 \frac{64}{25 \cdot 5}$

Schritt 14.3.4

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{64}{5})$

Schritt 14.4

Kombiniere $2$ und $\frac{64}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 64}{5}$

Schritt 14.5

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$\frac{128}{5}$

Schritt 15

$x = \frac{5}{4}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{5}{4}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{5}{4}$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{5}{4}$ .

$f (\frac{5}{4}) = \frac{16 {(\frac{5}{4})}^{2} + 25}{\frac{5}{4}}$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{5}{4}) = (16 {(\frac{5}{4})}^{2} + 25) (\frac{4}{5})$

Schritt 16.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{4}$ an.

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{5^{2}}{4^{2}}) + 25) (\frac{4}{5})$

Schritt 16.2.2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{4^{2}}) + 25) (\frac{4}{5})$

Schritt 16.2.2.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (\frac{4}{5})$

Schritt 16.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

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Schritt 16.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{4}) = (16 (\frac{25}{16}) + 25) (\frac{4}{5})$

Schritt 16.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{4}) = (25 + 25) (\frac{4}{5})$

Schritt 16.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.3.1

Addiere $25$ und $25$ .

$f (\frac{5}{4}) = 50 (\frac{4}{5})$

Schritt 16.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $50$ heraus.

$f (\frac{5}{4}) = 5 (10) (\frac{4}{5})$

Schritt 16.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5}{4}) = 5 \cdot (10 (\frac{4}{5}))$

Schritt 16.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5}{4}) = 10 \cdot 4$

Schritt 16.2.3.3

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$f (\frac{5}{4}) = 40$

Schritt 16.2.4

Die endgültige Lösung ist $40$ .

$y = 40$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{16 x^{2} + 25}{x}$ .

$(- \frac{5}{4}, - 40)$ ist ein lokales Maximum

$(\frac{5}{4}, 40)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18