Analysis Beispiele

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{5} x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $\frac{5}{5}$ und $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.2.5.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Da $\frac{7}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7}{2} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{7}{2}$ .

$x^{4} + \frac{4 \cdot 7}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$x^{4} + \frac{28}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.3.5

Kombiniere $\frac{28}{2}$ und $x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{28 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $28$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $28 x^{3}$ heraus.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + \frac{14 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.3.6.2.4

Dividiere $14 x^{3}$ durch $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Da $\frac{71}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{71}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.4.3

Kombiniere $3$ und $\frac{71}{3}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 \cdot 71}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $71$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.4.5

Kombiniere $\frac{213}{3}$ und $x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $213$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.6.1

Faktorisiere $3$ aus $213 x^{2}$ heraus.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.4.6.2.4

Dividiere $71 x^{2}$ durch $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [77 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Da $77$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $77 x^{2}$ nach $x$ gleich $77 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $77$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 2.6

Berechne $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Da $120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $120 x$ nach $x$ gleich $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \cdot 1$

Schritt 2.6.3

Mutltipliziere $120$ mit $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (14 x^{3}) + \frac{d}{d x} (71 x^{2}) + \frac{d}{d x} (154 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (14 x^{3}) + \frac{d}{d x} (71 x^{2}) + \frac{d}{d x} (154 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [14 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x^{3}$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 14 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (71 x^{2}) + \frac{d}{d x} (154 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 14 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (71 x^{2}) + \frac{d}{d x} (154 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $14$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + \frac{d}{d x} (71 x^{2}) + \frac{d}{d x} (154 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [71 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $71$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $71 x^{2}$ nach $x$ gleich $71 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (154 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 (2 x) + \frac{d}{d x} (154 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $71$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + \frac{d}{d x} (154 x) + \frac{d}{d x} (120)$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [154 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Da $154$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $154 x$ nach $x$ gleich $154 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (120)$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (120)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $154$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + \frac{d}{d x} (120)$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Da $120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $120$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + 0$

Schritt 3.5.2

Addiere $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{5} x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.2.4

Kombiniere $\frac{5}{5}$ und $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.2.5.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1

Da $\frac{7}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{7}{2} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{7}{2}$ .

$x^{4} + \frac{4 \cdot 7}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$x^{4} + \frac{28}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.3.5

Kombiniere $\frac{28}{2}$ und $x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{28 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $28$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $28 x^{3}$ heraus.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + \frac{14 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.3.6.2.4

Dividiere $14 x^{3}$ durch $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1

Da $\frac{71}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{71}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.4.3

Kombiniere $3$ und $\frac{71}{3}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 \cdot 71}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $71$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.4.5

Kombiniere $\frac{213}{3}$ und $x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $213$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.6.1

Faktorisiere $3$ aus $213 x^{2}$ heraus.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.4.6.2.4

Dividiere $71 x^{2}$ durch $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.5

Berechne $\frac{d}{d x} [77 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.5.1

Da $77$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $77 x^{2}$ nach $x$ gleich $77 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $77$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + \frac{d}{d x} [120 x]$

Schritt 5.1.6

Berechne $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.6.1

Da $120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $120 x$ nach $x$ gleich $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \cdot 1$

Schritt 5.1.6.3

Mutltipliziere $120$ mit $1$ .

$f' (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Faktorisiere $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

$q = \pm 1$

Schritt 6.2.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

Schritt 6.2.1.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

${(- 2)}^{4} + 14 {(- 2)}^{3} + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Schritt 6.2.1.3.2

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$16 + 14 {(- 2)}^{3} + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Schritt 6.2.1.3.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$16 + 14 \cdot - 8 + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Schritt 6.2.1.3.4

Mutltipliziere $14$ mit $- 8$ .

$16 - 112 + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Schritt 6.2.1.3.5

Subtrahiere $112$ von $16$ .

$- 96 + 71 {(- 2)}^{2} + 154 \cdot - 2 + 120$

Schritt 6.2.1.3.6

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 96 + 71 \cdot 4 + 154 \cdot - 2 + 120$

Schritt 6.2.1.3.7

Mutltipliziere $71$ mit $4$ .

$- 96 + 284 + 154 \cdot - 2 + 120$

Schritt 6.2.1.3.8

Addiere $- 96$ und $284$ .

$188 + 154 \cdot - 2 + 120$

Schritt 6.2.1.3.9

Mutltipliziere $154$ mit $- 2$ .

$188 - 308 + 120$

Schritt 6.2.1.3.10

Subtrahiere $308$ von $188$ .

$- 120 + 120$

Schritt 6.2.1.3.11

Addiere $- 120$ und $120$ .

$0$

Schritt 6.2.1.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120}{x + 2}$

Schritt 6.2.1.5

Dividiere $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ durch $x + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

Schritt 6.2.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

Schritt 6.2.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 6.2.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + 2 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Schritt 6.2.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

Schritt 6.2.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

Schritt 6.2.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

Schritt 6.2.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

Schritt 6.2.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 x^{3} + 24 x^{2}$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

Schritt 6.2.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

Schritt 6.2.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

Schritt 6.2.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $47 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

Schritt 6.2.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

Schritt 6.2.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $47 x^{2} + 94 x$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

Schritt 6.2.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

Schritt 6.2.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

Schritt 6.2.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $60 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

Schritt 6.2.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

$60 x$

$120$

Schritt 6.2.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $60 x + 120$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

$60 x$

$120$

Schritt 6.2.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

$x$

$2$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$71 x^{2}$

$154 x$

$120$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$12 x^{3}$

$71 x^{2}$

$12 x^{3}$

$24 x^{2}$

$47 x^{2}$

$154 x$

$47 x^{2}$

$94 x$

$60 x$

$120$

$60 x$

$120$

$0$

Schritt 6.2.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$

Schritt 6.2.1.6

Schreibe $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 2) (x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60) = 0$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Schritt 6.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Schritt 6.2.2.3

Setze $- 3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 3$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.3.1

Setze $- 3$ in das Polynom ein.

${(- 3)}^{3} + 12 {(- 3)}^{2} + 47 \cdot - 3 + 60$

Schritt 6.2.2.3.2

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$- 27 + 12 {(- 3)}^{2} + 47 \cdot - 3 + 60$

Schritt 6.2.2.3.3

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$- 27 + 12 \cdot 9 + 47 \cdot - 3 + 60$

Schritt 6.2.2.3.4

Mutltipliziere $12$ mit $9$ .

$- 27 + 108 + 47 \cdot - 3 + 60$

Schritt 6.2.2.3.5

Addiere $- 27$ und $108$ .

$81 + 47 \cdot - 3 + 60$

Schritt 6.2.2.3.6

Mutltipliziere $47$ mit $- 3$ .

$81 - 141 + 60$

Schritt 6.2.2.3.7

Subtrahiere $141$ von $81$ .

$- 60 + 60$

Schritt 6.2.2.3.8

Addiere $- 60$ und $60$ .

$0$

Schritt 6.2.2.4

Da $- 3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60}{x + 3}$

Schritt 6.2.2.5

Dividiere $x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$ durch $x + 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$47 x$

$60$

Schritt 6.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$

Schritt 6.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 6.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 6.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Schritt 6.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$

Schritt 6.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $9 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$

Schritt 6.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					+	$9 x^{2}$	+	$27 x$

Schritt 6.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $9 x^{2} + 27 x$

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$

Schritt 6.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$

Schritt 6.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$

Schritt 6.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $20 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$

Schritt 6.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$
							+	$20 x$	+	$60$

Schritt 6.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $20 x + 60$

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$
							-	$20 x$	-	$60$

Schritt 6.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$12 x^{2}$	+	$47 x$	+	$60$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$47 x$
					-	$9 x^{2}$	-	$27 x$
							+	$20 x$	+	$60$
							-	$20 x$	-	$60$
										$0$

Schritt 6.2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 9 x + 20$

Schritt 6.2.2.6

Schreibe $x^{3} + 12 x^{2} + 47 x + 60$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 2) ((x + 3) (x^{2} + 9 x + 20)) = 0$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.1

Faktorisiere $x^{2} + 9 x + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $20$ und deren Summe $9$ ist.

$4, 5$

Schritt 6.2.3.1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 2) ((x + 3) ((x + 4) (x + 5))) = 0$

Schritt 6.2.3.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) ((x + 3) (x + 4) (x + 5)) = 0$

Schritt 6.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 6.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 6.5

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 6.5.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6.6

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 6.6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 6.7

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.7.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 6.7.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 6.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, - 3, - 4, - 5$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 2, - 3, - 4, - 5$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 {(- 2)}^{3} + 42 {(- 2)}^{2} + 142 (- 2) + 154$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$4 \cdot - 8 + 42 {(- 2)}^{2} + 142 (- 2) + 154$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$- 32 + 42 {(- 2)}^{2} + 142 (- 2) + 154$

Schritt 10.1.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 32 + 42 \cdot 4 + 142 (- 2) + 154$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $42$ mit $4$ .

$- 32 + 168 + 142 (- 2) + 154$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $142$ mit $- 2$ .

$- 32 + 168 - 284 + 154$

Schritt 10.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Addiere $- 32$ und $168$ .

$136 - 284 + 154$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $284$ von $136$ .

$- 148 + 154$

Schritt 10.2.3

Addiere $- 148$ und $154$ .

$6$

Schritt 11

$x = - 2$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 2$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{1}{5} \cdot {(- 2)}^{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$f (- 2) = \frac{1}{5} \cdot - 32 + \frac{7}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Schritt 12.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 32$ .

$f (- 2) = \frac{- 32}{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Schritt 12.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 2)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Schritt 12.2.1.4

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + \frac{7}{2} \cdot 16 + \frac{71}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Schritt 12.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + \frac{7}{2} \cdot (2 (8)) + \frac{71}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Schritt 12.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + \frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 8) + \frac{71}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Schritt 12.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + 7 \cdot 8 + \frac{71}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Schritt 12.2.1.6

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + 56 + \frac{71}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Schritt 12.2.1.7

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + 56 + \frac{71}{3} \cdot - 8 + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Schritt 12.2.1.8

Multipliziere $\frac{71}{3} \cdot - 8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.8.1

Kombiniere $\frac{71}{3}$ und $- 8$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + 56 + \frac{71 \cdot - 8}{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Schritt 12.2.1.8.2

Mutltipliziere $71$ mit $- 8$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + 56 + \frac{- 568}{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Schritt 12.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + 56 - \frac{568}{3} + 77 {(- 2)}^{2} + 120 (- 2)$

Schritt 12.2.1.10

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + 56 - \frac{568}{3} + 77 \cdot 4 + 120 (- 2)$

Schritt 12.2.1.11

Mutltipliziere $77$ mit $4$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + 56 - \frac{568}{3} + 308 + 120 (- 2)$

Schritt 12.2.1.12

Mutltipliziere $120$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{32}{5} + 56 - \frac{568}{3} + 308 - 240$

Schritt 12.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{32}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - (\frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3}) + 56 - \frac{568}{3} + 308 - 240$

Schritt 12.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{32}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + 56 - \frac{568}{3} + 308 - 240$

Schritt 12.2.2.3

Schreibe $56$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56}{1} - \frac{568}{3} + 308 - 240$

Schritt 12.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{56}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56}{1} \cdot \frac{15}{15} - \frac{568}{3} + 308 - 240$

Schritt 12.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{56}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568}{3} + 308 - 240$

Schritt 12.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{568}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56 \cdot 15}{15} - (\frac{568}{3} \cdot \frac{5}{5}) + 308 - 240$

Schritt 12.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{568}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{3 \cdot 5} + 308 - 240$

Schritt 12.2.2.8

Schreibe $308$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{308}{1} - 240$

Schritt 12.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{308}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{308}{1} \cdot \frac{15}{15} - 240$

Schritt 12.2.2.10

Mutltipliziere $\frac{308}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{308 \cdot 15}{15} - 240$

Schritt 12.2.2.11

Schreibe $- 240$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{308 \cdot 15}{15} + \frac{- 240}{1}$

Schritt 12.2.2.12

Mutltipliziere $\frac{- 240}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{308 \cdot 15}{15} + \frac{- 240}{1} \cdot \frac{15}{15}$

Schritt 12.2.2.13

Mutltipliziere $\frac{- 240}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{308 \cdot 15}{15} + \frac{- 240 \cdot 15}{15}$

Schritt 12.2.2.14

Stelle die Faktoren von $5 \cdot 3$ um.

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 5} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{308 \cdot 15}{15} + \frac{- 240 \cdot 15}{15}$

Schritt 12.2.2.15

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{15} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{308 \cdot 15}{15} + \frac{- 240 \cdot 15}{15}$

Schritt 12.2.2.16

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f (- 2) = - \frac{32 \cdot 3}{15} + \frac{56 \cdot 15}{15} - \frac{568 \cdot 5}{15} + \frac{308 \cdot 15}{15} + \frac{- 240 \cdot 15}{15}$

Schritt 12.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 2) = \frac{- 32 \cdot 3 + 56 \cdot 15 - 568 \cdot 5 + 308 \cdot 15 - 240 \cdot 15}{15}$

Schritt 12.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.4.1

Mutltipliziere $- 32$ mit $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 96 + 56 \cdot 15 - 568 \cdot 5 + 308 \cdot 15 - 240 \cdot 15}{15}$

Schritt 12.2.4.2

Mutltipliziere $56$ mit $15$ .

$f (- 2) = \frac{- 96 + 840 - 568 \cdot 5 + 308 \cdot 15 - 240 \cdot 15}{15}$

Schritt 12.2.4.3

Mutltipliziere $- 568$ mit $5$ .

$f (- 2) = \frac{- 96 + 840 - 2840 + 308 \cdot 15 - 240 \cdot 15}{15}$

Schritt 12.2.4.4

Mutltipliziere $308$ mit $15$ .

$f (- 2) = \frac{- 96 + 840 - 2840 + 4620 - 240 \cdot 15}{15}$

Schritt 12.2.4.5

Mutltipliziere $- 240$ mit $15$ .

$f (- 2) = \frac{- 96 + 840 - 2840 + 4620 - 3600}{15}$

Schritt 12.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.5.1

Addiere $- 96$ und $840$ .

$f (- 2) = \frac{744 - 2840 + 4620 - 3600}{15}$

Schritt 12.2.5.2

Subtrahiere $2840$ von $744$ .

$f (- 2) = \frac{- 2096 + 4620 - 3600}{15}$

Schritt 12.2.5.3

Addiere $- 2096$ und $4620$ .

$f (- 2) = \frac{2524 - 3600}{15}$

Schritt 12.2.5.4

Subtrahiere $3600$ von $2524$ .

$f (- 2) = \frac{- 1076}{15}$

Schritt 12.2.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 2) = - \frac{1076}{15}$

Schritt 12.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1076}{15}$ .

$y = - \frac{1076}{15}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 3$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 {(- 3)}^{3} + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$4 \cdot - 27 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Schritt 14.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 27$ .

$- 108 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Schritt 14.1.3

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$- 108 + 42 \cdot 9 + 142 (- 3) + 154$

Schritt 14.1.4

Mutltipliziere $42$ mit $9$ .

$- 108 + 378 + 142 (- 3) + 154$

Schritt 14.1.5

Mutltipliziere $142$ mit $- 3$ .

$- 108 + 378 - 426 + 154$

Schritt 14.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Addiere $- 108$ und $378$ .

$270 - 426 + 154$

Schritt 14.2.2

Subtrahiere $426$ von $270$ .

$- 156 + 154$

Schritt 14.2.3

Addiere $- 156$ und $154$ .

$- 2$

Schritt 15

$x = - 3$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 3$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot {(- 3)}^{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 3)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1.1

Potenziere $- 3$ mit $5$ .

$f (- 3) = \frac{1}{5} \cdot - 243 + \frac{7}{2} \cdot {(- 3)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Schritt 16.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 243$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 3)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Schritt 16.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 3)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Schritt 16.2.1.4

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{7}{2} \cdot 81 + \frac{71}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Schritt 16.2.1.5

Multipliziere $\frac{7}{2} \cdot 81$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1.5.1

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $81$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{7 \cdot 81}{2} + \frac{71}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Schritt 16.2.1.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $81$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{567}{2} + \frac{71}{3} \cdot {(- 3)}^{3} + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Schritt 16.2.1.6

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{567}{2} + \frac{71}{3} \cdot - 27 + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Schritt 16.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1.7.1

Faktorisiere $3$ aus $- 27$ heraus.

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{567}{2} + \frac{71}{3} \cdot (3 (- 9)) + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Schritt 16.2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{567}{2} + \frac{71}{3} \cdot (3 \cdot - 9) + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Schritt 16.2.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{567}{2} + 71 \cdot - 9 + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Schritt 16.2.1.8

Mutltipliziere $71$ mit $- 9$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{567}{2} - 639 + 77 {(- 3)}^{2} + 120 (- 3)$

Schritt 16.2.1.9

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{567}{2} - 639 + 77 \cdot 9 + 120 (- 3)$

Schritt 16.2.1.10

Mutltipliziere $77$ mit $9$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{567}{2} - 639 + 693 + 120 (- 3)$

Schritt 16.2.1.11

Mutltipliziere $120$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = - \frac{243}{5} + \frac{567}{2} - 639 + 693 - 360$

Schritt 16.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{243}{5}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - (\frac{243}{5} \cdot \frac{2}{2}) + \frac{567}{2} - 639 + 693 - 360$

Schritt 16.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{243}{5}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567}{2} - 639 + 693 - 360$

Schritt 16.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{567}{2}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567}{2} \cdot \frac{5}{5} - 639 + 693 - 360$

Schritt 16.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{567}{2}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} - 639 + 693 - 360$

Schritt 16.2.2.5

Schreibe $- 639$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639}{1} + 693 - 360$

Schritt 16.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 639}{1}$ mit $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639}{1} \cdot \frac{10}{10} + 693 - 360$

Schritt 16.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{- 639}{1}$ mit $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + 693 - 360$

Schritt 16.2.2.8

Schreibe $693$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + \frac{693}{1} - 360$

Schritt 16.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{693}{1}$ mit $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + \frac{693}{1} \cdot \frac{10}{10} - 360$

Schritt 16.2.2.10

Mutltipliziere $\frac{693}{1}$ mit $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + \frac{693 \cdot 10}{10} - 360$

Schritt 16.2.2.11

Schreibe $- 360$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + \frac{693 \cdot 10}{10} + \frac{- 360}{1}$

Schritt 16.2.2.12

Mutltipliziere $\frac{- 360}{1}$ mit $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + \frac{693 \cdot 10}{10} + \frac{- 360}{1} \cdot \frac{10}{10}$

Schritt 16.2.2.13

Mutltipliziere $\frac{- 360}{1}$ mit $\frac{10}{10}$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + \frac{693 \cdot 10}{10} + \frac{- 360 \cdot 10}{10}$

Schritt 16.2.2.14

Stelle die Faktoren von $5 \cdot 2$ um.

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{2 \cdot 5} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + \frac{693 \cdot 10}{10} + \frac{- 360 \cdot 10}{10}$

Schritt 16.2.2.15

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{10} + \frac{567 \cdot 5}{2 \cdot 5} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + \frac{693 \cdot 10}{10} + \frac{- 360 \cdot 10}{10}$

Schritt 16.2.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f (- 3) = - \frac{243 \cdot 2}{10} + \frac{567 \cdot 5}{10} + \frac{- 639 \cdot 10}{10} + \frac{693 \cdot 10}{10} + \frac{- 360 \cdot 10}{10}$

Schritt 16.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2 + 567 \cdot 5 - 639 \cdot 10 + 693 \cdot 10 - 360 \cdot 10}{10}$

Schritt 16.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.4.1

Mutltipliziere $- 243$ mit $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 567 \cdot 5 - 639 \cdot 10 + 693 \cdot 10 - 360 \cdot 10}{10}$

Schritt 16.2.4.2

Mutltipliziere $567$ mit $5$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 2835 - 639 \cdot 10 + 693 \cdot 10 - 360 \cdot 10}{10}$

Schritt 16.2.4.3

Mutltipliziere $- 639$ mit $10$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 2835 - 6390 + 693 \cdot 10 - 360 \cdot 10}{10}$

Schritt 16.2.4.4

Mutltipliziere $693$ mit $10$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 2835 - 6390 + 6930 - 360 \cdot 10}{10}$

Schritt 16.2.4.5

Mutltipliziere $- 360$ mit $10$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 2835 - 6390 + 6930 - 3600}{10}$

Schritt 16.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.5.1

Addiere $- 486$ und $2835$ .

$f (- 3) = \frac{2349 - 6390 + 6930 - 3600}{10}$

Schritt 16.2.5.2

Subtrahiere $6390$ von $2349$ .

$f (- 3) = \frac{- 4041 + 6930 - 3600}{10}$

Schritt 16.2.5.3

Addiere $- 4041$ und $6930$ .

$f (- 3) = \frac{2889 - 3600}{10}$

Schritt 16.2.5.4

Subtrahiere $3600$ von $2889$ .

$f (- 3) = \frac{- 711}{10}$

Schritt 16.2.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 3) = - \frac{711}{10}$

Schritt 16.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{711}{10}$ .

$y = - \frac{711}{10}$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 4$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 {(- 4)}^{3} + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Schritt 18

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.1

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$4 \cdot - 64 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Schritt 18.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 64$ .

$- 256 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Schritt 18.1.3

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$- 256 + 42 \cdot 16 + 142 (- 4) + 154$

Schritt 18.1.4

Mutltipliziere $42$ mit $16$ .

$- 256 + 672 + 142 (- 4) + 154$

Schritt 18.1.5

Mutltipliziere $142$ mit $- 4$ .

$- 256 + 672 - 568 + 154$

Schritt 18.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1

Addiere $- 256$ und $672$ .

$416 - 568 + 154$

Schritt 18.2.2

Subtrahiere $568$ von $416$ .

$- 152 + 154$

Schritt 18.2.3

Addiere $- 152$ und $154$ .

$2$

Schritt 19

$x = - 4$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 4$ ist ein lokales Minimum

Schritt 20

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{1}{5} \cdot {(- 4)}^{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 4)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Schritt 20.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $5$ .

$f (- 4) = \frac{1}{5} \cdot - 1024 + \frac{7}{2} \cdot {(- 4)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Schritt 20.2.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 1024$ .

$f (- 4) = \frac{- 1024}{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 4)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Schritt 20.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 4)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Schritt 20.2.1.4

Potenziere $- 4$ mit $4$ .

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + \frac{7}{2} \cdot 256 + \frac{71}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Schritt 20.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $256$ heraus.

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + \frac{7}{2} \cdot (2 (128)) + \frac{71}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Schritt 20.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + \frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 128) + \frac{71}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Schritt 20.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + 7 \cdot 128 + \frac{71}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Schritt 20.2.1.6

Mutltipliziere $7$ mit $128$ .

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + 896 + \frac{71}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Schritt 20.2.1.7

Potenziere $- 4$ mit $3$ .

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + 896 + \frac{71}{3} \cdot - 64 + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Schritt 20.2.1.8

Multipliziere $\frac{71}{3} \cdot - 64$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.1.8.1

Kombiniere $\frac{71}{3}$ und $- 64$ .

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + 896 + \frac{71 \cdot - 64}{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Schritt 20.2.1.8.2

Mutltipliziere $71$ mit $- 64$ .

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + 896 + \frac{- 4544}{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Schritt 20.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + 896 - \frac{4544}{3} + 77 {(- 4)}^{2} + 120 (- 4)$

Schritt 20.2.1.10

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + 896 - \frac{4544}{3} + 77 \cdot 16 + 120 (- 4)$

Schritt 20.2.1.11

Mutltipliziere $77$ mit $16$ .

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + 896 - \frac{4544}{3} + 1232 + 120 (- 4)$

Schritt 20.2.1.12

Mutltipliziere $120$ mit $- 4$ .

$f (- 4) = - \frac{1024}{5} + 896 - \frac{4544}{3} + 1232 - 480$

Schritt 20.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1024}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - (\frac{1024}{5} \cdot \frac{3}{3}) + 896 - \frac{4544}{3} + 1232 - 480$

Schritt 20.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1024}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + 896 - \frac{4544}{3} + 1232 - 480$

Schritt 20.2.2.3

Schreibe $896$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896}{1} - \frac{4544}{3} + 1232 - 480$

Schritt 20.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{896}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896}{1} \cdot \frac{15}{15} - \frac{4544}{3} + 1232 - 480$

Schritt 20.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{896}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544}{3} + 1232 - 480$

Schritt 20.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{4544}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896 \cdot 15}{15} - (\frac{4544}{3} \cdot \frac{5}{5}) + 1232 - 480$

Schritt 20.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{4544}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{3 \cdot 5} + 1232 - 480$

Schritt 20.2.2.8

Schreibe $1232$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1232}{1} - 480$

Schritt 20.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{1232}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1232}{1} \cdot \frac{15}{15} - 480$

Schritt 20.2.2.10

Mutltipliziere $\frac{1232}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1232 \cdot 15}{15} - 480$

Schritt 20.2.2.11

Schreibe $- 480$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1232 \cdot 15}{15} + \frac{- 480}{1}$

Schritt 20.2.2.12

Mutltipliziere $\frac{- 480}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1232 \cdot 15}{15} + \frac{- 480}{1} \cdot \frac{15}{15}$

Schritt 20.2.2.13

Mutltipliziere $\frac{- 480}{1}$ mit $\frac{15}{15}$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1232 \cdot 15}{15} + \frac{- 480 \cdot 15}{15}$

Schritt 20.2.2.14

Stelle die Faktoren von $5 \cdot 3$ um.

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{3 \cdot 5} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1232 \cdot 15}{15} + \frac{- 480 \cdot 15}{15}$

Schritt 20.2.2.15

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{15} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{1232 \cdot 15}{15} + \frac{- 480 \cdot 15}{15}$

Schritt 20.2.2.16

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f (- 4) = - \frac{1024 \cdot 3}{15} + \frac{896 \cdot 15}{15} - \frac{4544 \cdot 5}{15} + \frac{1232 \cdot 15}{15} + \frac{- 480 \cdot 15}{15}$

Schritt 20.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 4) = \frac{- 1024 \cdot 3 + 896 \cdot 15 - 4544 \cdot 5 + 1232 \cdot 15 - 480 \cdot 15}{15}$

Schritt 20.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.4.1

Mutltipliziere $- 1024$ mit $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 3072 + 896 \cdot 15 - 4544 \cdot 5 + 1232 \cdot 15 - 480 \cdot 15}{15}$

Schritt 20.2.4.2

Mutltipliziere $896$ mit $15$ .

$f (- 4) = \frac{- 3072 + 13440 - 4544 \cdot 5 + 1232 \cdot 15 - 480 \cdot 15}{15}$

Schritt 20.2.4.3

Mutltipliziere $- 4544$ mit $5$ .

$f (- 4) = \frac{- 3072 + 13440 - 22720 + 1232 \cdot 15 - 480 \cdot 15}{15}$

Schritt 20.2.4.4

Mutltipliziere $1232$ mit $15$ .

$f (- 4) = \frac{- 3072 + 13440 - 22720 + 18480 - 480 \cdot 15}{15}$

Schritt 20.2.4.5

Mutltipliziere $- 480$ mit $15$ .

$f (- 4) = \frac{- 3072 + 13440 - 22720 + 18480 - 7200}{15}$

Schritt 20.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.2.5.1

Addiere $- 3072$ und $13440$ .

$f (- 4) = \frac{10368 - 22720 + 18480 - 7200}{15}$

Schritt 20.2.5.2

Subtrahiere $22720$ von $10368$ .

$f (- 4) = \frac{- 12352 + 18480 - 7200}{15}$

Schritt 20.2.5.3

Addiere $- 12352$ und $18480$ .

$f (- 4) = \frac{6128 - 7200}{15}$

Schritt 20.2.5.4

Subtrahiere $7200$ von $6128$ .

$f (- 4) = \frac{- 1072}{15}$

Schritt 20.2.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 4) = - \frac{1072}{15}$

Schritt 20.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1072}{15}$ .

$y = - \frac{1072}{15}$

Schritt 21

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 5$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$4 {(- 5)}^{3} + 42 {(- 5)}^{2} + 142 (- 5) + 154$

Schritt 22

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1.1

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$4 \cdot - 125 + 42 {(- 5)}^{2} + 142 (- 5) + 154$

Schritt 22.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 125$ .

$- 500 + 42 {(- 5)}^{2} + 142 (- 5) + 154$

Schritt 22.1.3

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$- 500 + 42 \cdot 25 + 142 (- 5) + 154$

Schritt 22.1.4

Mutltipliziere $42$ mit $25$ .

$- 500 + 1050 + 142 (- 5) + 154$

Schritt 22.1.5

Mutltipliziere $142$ mit $- 5$ .

$- 500 + 1050 - 710 + 154$

Schritt 22.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.2.1

Addiere $- 500$ und $1050$ .

$550 - 710 + 154$

Schritt 22.2.2

Subtrahiere $710$ von $550$ .

$- 160 + 154$

Schritt 22.2.3

Addiere $- 160$ und $154$ .

$- 6$

Schritt 23

$x = - 5$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 5$ ist ein lokales Maximum

Schritt 24

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{1}{5} \cdot {(- 5)}^{5} + \frac{7}{2} \cdot {(- 5)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 5)}^{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Schritt 24.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $5$ .

$f (- 5) = \frac{1}{5} \cdot - 3125 + \frac{7}{2} \cdot {(- 5)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 5)}^{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Schritt 24.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.2.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 3125$ heraus.

$f (- 5) = \frac{1}{5} \cdot (5 (- 625)) + \frac{7}{2} \cdot {(- 5)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 5)}^{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Schritt 24.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 5) = \frac{1}{5} \cdot (5 \cdot - 625) + \frac{7}{2} \cdot {(- 5)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 5)}^{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Schritt 24.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 5) = - 625 + \frac{7}{2} \cdot {(- 5)}^{4} + \frac{71}{3} \cdot {(- 5)}^{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Schritt 24.2.1.3

Potenziere $- 5$ mit $4$ .

$f (- 5) = - 625 + \frac{7}{2} \cdot 625 + \frac{71}{3} \cdot {(- 5)}^{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Schritt 24.2.1.4

Multipliziere $\frac{7}{2} \cdot 625$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.2.1.4.1

Kombiniere $\frac{7}{2}$ und $625$ .

$f (- 5) = - 625 + \frac{7 \cdot 625}{2} + \frac{71}{3} \cdot {(- 5)}^{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Schritt 24.2.1.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $625$ .

$f (- 5) = - 625 + \frac{4375}{2} + \frac{71}{3} \cdot {(- 5)}^{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Schritt 24.2.1.5

Potenziere $- 5$ mit $3$ .

$f (- 5) = - 625 + \frac{4375}{2} + \frac{71}{3} \cdot - 125 + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Schritt 24.2.1.6

Multipliziere $\frac{71}{3} \cdot - 125$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.2.1.6.1

Kombiniere $\frac{71}{3}$ und $- 125$ .

$f (- 5) = - 625 + \frac{4375}{2} + \frac{71 \cdot - 125}{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Schritt 24.2.1.6.2

Mutltipliziere $71$ mit $- 125$ .

$f (- 5) = - 625 + \frac{4375}{2} + \frac{- 8875}{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Schritt 24.2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 5) = - 625 + \frac{4375}{2} - \frac{8875}{3} + 77 {(- 5)}^{2} + 120 (- 5)$

Schritt 24.2.1.8

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f (- 5) = - 625 + \frac{4375}{2} - \frac{8875}{3} + 77 \cdot 25 + 120 (- 5)$

Schritt 24.2.1.9

Mutltipliziere $77$ mit $25$ .

$f (- 5) = - 625 + \frac{4375}{2} - \frac{8875}{3} + 1925 + 120 (- 5)$

Schritt 24.2.1.10

Mutltipliziere $120$ mit $- 5$ .

$f (- 5) = - 625 + \frac{4375}{2} - \frac{8875}{3} + 1925 - 600$

Schritt 24.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.2.2.1

Schreibe $- 625$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 5) = \frac{- 625}{1} + \frac{4375}{2} - \frac{8875}{3} + 1925 - 600$

Schritt 24.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 625}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625}{1} \cdot \frac{6}{6} + \frac{4375}{2} - \frac{8875}{3} + 1925 - 600$

Schritt 24.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 625}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375}{2} - \frac{8875}{3} + 1925 - 600$

Schritt 24.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{4375}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{8875}{3} + 1925 - 600$

Schritt 24.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{4375}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{8875}{3} + 1925 - 600$

Schritt 24.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{8875}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{2 \cdot 3} - (\frac{8875}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 1925 - 600$

Schritt 24.2.2.7

Mutltipliziere $\frac{8875}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{8875 \cdot 2}{3 \cdot 2} + 1925 - 600$

Schritt 24.2.2.8

Schreibe $1925$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{8875 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1925}{1} - 600$

Schritt 24.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{1925}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{8875 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1925}{1} \cdot \frac{6}{6} - 600$

Schritt 24.2.2.10

Mutltipliziere $\frac{1925}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{8875 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1925 \cdot 6}{6} - 600$

Schritt 24.2.2.11

Schreibe $- 600$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{8875 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1925 \cdot 6}{6} + \frac{- 600}{1}$

Schritt 24.2.2.12

Mutltipliziere $\frac{- 600}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{8875 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1925 \cdot 6}{6} + \frac{- 600}{1} \cdot \frac{6}{6}$

Schritt 24.2.2.13

Mutltipliziere $\frac{- 600}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{8875 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1925 \cdot 6}{6} + \frac{- 600 \cdot 6}{6}$

Schritt 24.2.2.14

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{6} - \frac{8875 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1925 \cdot 6}{6} + \frac{- 600 \cdot 6}{6}$

Schritt 24.2.2.15

Stelle die Faktoren von $3 \cdot 2$ um.

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{6} - \frac{8875 \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac{1925 \cdot 6}{6} + \frac{- 600 \cdot 6}{6}$

Schritt 24.2.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6}{6} + \frac{4375 \cdot 3}{6} - \frac{8875 \cdot 2}{6} + \frac{1925 \cdot 6}{6} + \frac{- 600 \cdot 6}{6}$

Schritt 24.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 5) = \frac{- 625 \cdot 6 + 4375 \cdot 3 - 8875 \cdot 2 + 1925 \cdot 6 - 600 \cdot 6}{6}$

Schritt 24.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.2.4.1

Mutltipliziere $- 625$ mit $6$ .

$f (- 5) = \frac{- 3750 + 4375 \cdot 3 - 8875 \cdot 2 + 1925 \cdot 6 - 600 \cdot 6}{6}$

Schritt 24.2.4.2

Mutltipliziere $4375$ mit $3$ .

$f (- 5) = \frac{- 3750 + 13125 - 8875 \cdot 2 + 1925 \cdot 6 - 600 \cdot 6}{6}$

Schritt 24.2.4.3

Mutltipliziere $- 8875$ mit $2$ .

$f (- 5) = \frac{- 3750 + 13125 - 17750 + 1925 \cdot 6 - 600 \cdot 6}{6}$

Schritt 24.2.4.4

Mutltipliziere $1925$ mit $6$ .

$f (- 5) = \frac{- 3750 + 13125 - 17750 + 11550 - 600 \cdot 6}{6}$

Schritt 24.2.4.5

Mutltipliziere $- 600$ mit $6$ .

$f (- 5) = \frac{- 3750 + 13125 - 17750 + 11550 - 3600}{6}$

Schritt 24.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.2.5.1

Addiere $- 3750$ und $13125$ .

$f (- 5) = \frac{9375 - 17750 + 11550 - 3600}{6}$

Schritt 24.2.5.2

Subtrahiere $17750$ von $9375$ .

$f (- 5) = \frac{- 8375 + 11550 - 3600}{6}$

Schritt 24.2.5.3

Addiere $- 8375$ und $11550$ .

$f (- 5) = \frac{3175 - 3600}{6}$

Schritt 24.2.5.4

Subtrahiere $3600$ von $3175$ .

$f (- 5) = \frac{- 425}{6}$

Schritt 24.2.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 5) = - \frac{425}{6}$

Schritt 24.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{425}{6}$ .

$y = - \frac{425}{6}$

Schritt 25

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ .

$(- 2, - \frac{1076}{15})$ ist ein lokales Minimum

$(- 3, - \frac{711}{10})$ ist ein lokales Maximum

$(- 4, - \frac{1072}{15})$ ist ein lokales Minimum

$(- 5, - \frac{425}{6})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 26