Analysis Beispiele

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.9.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.3.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.2

Multipliziere $(2 x^{2} + 2) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} (x - 1) + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.2.1.3.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.3.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.4

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 ((x - 1) (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.5

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.2.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.6.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.6.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.6.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.6.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.8.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{2} x + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.10

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1.10.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.2.1.10.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.10.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.10.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.10.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.10.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.2.1.10.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.1.10.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ .

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Schritt 2.4.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 0 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.2

Addiere $- 2 x^{2} + 2 x - 2$ und $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.3

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.2.4

Addiere $- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.2.3

Addiere $- 2 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 2$ heraus.

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Schritt 2.4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.4.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 3.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}})$

Schritt 3.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}})$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.5.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.5.4.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.5.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.5.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.5.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.5.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.5.8.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.5.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.5.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.8.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.5.8.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.5.8.4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ({(x^{2} + 1)}^{2} x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.7

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.7.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.7.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.7.5

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.7.5.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.5.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.7.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 3.7.5.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.1

Schreibe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ als $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ um.

$f'' (x) = \frac{2 (2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.2

Multipliziere $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.3.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.3.2

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x^{4} + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2) x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{4} x + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.7.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.7.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.7.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 4} + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.7.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{2} x + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.7.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.7.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.7.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5} + 4 x^{3} + 2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x^{5}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 2 (4 x^{3}) + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 2 (2 x) + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.9.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.10

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x - 4) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.11

Multipliziere $(- 4 x - 4) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x (x - 1) - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.12.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.12.1.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.12.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.12.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.12.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.12.2

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 0 + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.12.3

Addiere $- 4 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.13

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.13.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.13.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.13.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.13.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2 + 1} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.13.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.13.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.14

Multipliziere $(- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} (x^{3} + x) + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.15

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.15.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.15.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.15.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.15.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.15.1.1.3

Addiere $3$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.15.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.15.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.15.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.4.1.15.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.15.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.15.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} - 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.15.2

Addiere $- 4 x^{3}$ und $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} + 0 + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.15.3

Addiere $- 4 x^{5}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.16

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 2 (- 4 x^{5}) + 2 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.17

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x - 8 x^{5} + 2 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.1.18

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x - 8 x^{5} + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.2

Subtrahiere $8 x^{5}$ von $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 4 x + 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.4.3

Addiere $4 x$ und $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.5.1

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x^{5} + 8 x^{3} + 12 x$ heraus.

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Schritt 3.8.5.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $- 4 x^{5}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4}) + 8 x^{3} + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.5.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $8 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2}) + 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.5.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $12 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2}) + 4 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.5.1.4

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (- x^{4}) + 4 x (2 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 4 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.5.1.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 4 x (3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{4} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.5.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{4 x (- {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.5.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} + 2 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.5.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.8.5.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 3.8.5.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 u$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} + 2 (u) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.5.4.1.2

Schreibe $2$ um als $- 1$ plus $3$

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.5.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 x (- u^{2} - 1 u + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.5.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.8.5.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f'' (x) = \frac{4 x ((- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.5.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f'' (x) = \frac{4 x (u (- u - 1) - 3 (- u - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.5.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ((- u - 1) (u - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.5.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (- x^{2} - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x^{2} - 1$ und ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Schritt 3.8.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x (- (x^{2}) - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.6.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f'' (x) = \frac{4 x (- (x^{2}) - 1 \cdot 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{4 x (- (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.6.4

Schreibe $- (x^{2} + 1)$ als $- 1 (x^{2} + 1)$ um.

$f'' (x) = \frac{4 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.6.5

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $4 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 3.8.6.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.8.6.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus ${(x^{2} + 1)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.8.6.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.8.6.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{4 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.8.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3.8.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.3

Differenziere.

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Schritt 5.1.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.3.9.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.3.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2) (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.2

Multipliziere $(2 x^{2} + 2) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.4.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} (x - 1) + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 (x - 1) - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.4.2.1.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.4.2.1.3.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.1.4.2.1.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.3.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 1 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 {(x - 1)}^{2} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.4

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 ((x - 1) (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.5

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.4.2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1.4.2.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.4.2.1.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.6.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.6.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.6.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - x - x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.6.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{2} - 2 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.8

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.8.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + (- 2 x^{2} + 4 x - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{2} x + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.10

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.2.1.10.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.4.2.1.10.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.10.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.1.4.2.1.10.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.10.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.10.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x \cdot x - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.10.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.4.2.1.10.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 (x \cdot x) - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.1.10.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ .

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Schritt 5.1.4.2.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 0 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.2.2

Addiere $- 2 x^{2} + 2 x - 2$ und $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 2 + 4 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.2.3

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.2.4

Addiere $- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 2 + 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.2.3

Addiere $- 2 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} - 2$ heraus.

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Schritt 5.1.4.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) - 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.3.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2}) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{2 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 6.3.2

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 6.3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 6.3.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 6.3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 6.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 1, 1$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{4 (- 1) ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Schritt 10.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{2^{3}}$

Schritt 10.2.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{- 4 ({(- 1)}^{2} - 3)}{8}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{- 4 (1 - 3)}{8}$

Schritt 10.3.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- \frac{- 4 \cdot - 2}{8}$

Schritt 10.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$- \frac{8}{8}$

Schritt 10.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 10.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{8}{8}$

Schritt 10.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 1$

Schritt 10.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 11

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 1$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${((- 1) - 1)}^{2}$ und ${(- 1)}^{2} + 1$ .

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Schritt 12.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus ${(- 1)}^{2}$ heraus.

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{1 + 1}$

Schritt 12.2.1.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{1 - 1 \cdot - 1}$

Schritt 12.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- - 1 - 1 (- 1)$ heraus.

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{- (- 1 - 1)}$

Schritt 12.2.1.4

Schreibe $- (- 1 - 1)$ als $- 1 (- 1 - 1)$ um.

$f (- 1) = \frac{{((- 1) - 1)}^{2}}{- 1 (- 1 - 1)}$

Schritt 12.2.1.5

Faktorisiere $- 1 - 1$ aus ${(- 1 - 1)}^{2}$ heraus.

$f (- 1) = \frac{(- 1 - 1) (- 1 - 1)}{- 1 (- 1 - 1)}$

Schritt 12.2.1.6

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 1 - 1}{- 1}$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot (- 1 - 1)$

Schritt 12.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.2.2.1

Schreibe $- 1 \cdot (- 1 - 1)$ als $- (- 1 - 1)$ um.

$f (- 1) = - (- 1 - 1)$

Schritt 12.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$f (- 1) = 2$

Schritt 12.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (- 1) = 2$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $2$ .

$y = 2$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{4 (1) ({(1)}^{2} - 3)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{{(1^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 14.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 14.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{{(1 + 1)}^{3}}$

Schritt 14.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{2^{3}}$

Schritt 14.2.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{4 (1^{2} - 3)}{8}$

Schritt 14.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{4 (1 - 3)}{8}$

Schritt 14.3.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- \frac{4 \cdot - 2}{8}$

Schritt 14.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$- \frac{- 8}{8}$

Schritt 14.4.2

Dividiere $- 8$ durch $8$ .

$- - 1$

Schritt 14.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1$

Schritt 15

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{{((1) - 1)}^{2}}{{(1)}^{2} + 1}$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.2.1.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (1) = \frac{0^{2}}{1^{2} + 1}$

Schritt 16.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (1) = \frac{0}{1^{2} + 1}$

Schritt 16.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 16.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{0}{1 + 1}$

Schritt 16.2.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$f (1) = \frac{0}{2}$

Schritt 16.2.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (1) = 0$

Schritt 16.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} + 1}$ .

$(- 1, 2)$ ist ein lokales Maximum

$(1, 0)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 18