Analysis Beispiele

$\frac{3 x}{\sqrt{x - 6}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{3 x}{\sqrt{x - 6}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{3 x}{\sqrt{x - 6}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 6}$ als ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 6)}^{1}}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 6}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 6}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 6}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - 6$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 6$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 6$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 2.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 2.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 2.11.3

Bringe ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 2.11.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 6]}{x - 6}$

Schritt 2.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{x - 6}$

Schritt 2.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{x - 6}$

Schritt 2.14

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x - 6}$

Schritt 2.15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.15.1

Addiere $1$ und $0$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - 6}$

Schritt 2.15.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 2.16

Um ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 2.17

Kombiniere ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 2.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 2.19

Multipliziere ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.19.1

Bewege ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 2.19.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 2.19.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 2.19.4

Addiere $1$ und $1$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 2.19.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{1} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 2.20

Vereinfache ${(x - 6)}^{1} \cdot 2$ .

$3 \frac{\frac{(x - 6) \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 2.21

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 6$ .

$3 \frac{\frac{2 \cdot (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 2.22

Schreibe $\frac{\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$ als ein Produkt um.

$3 (\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - 6})$

Schritt 2.23

Mutltipliziere $\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x - 6}$ .

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 6)}$

Schritt 2.24

Potenziere $x - 6$ mit $1$ .

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 ({(x - 6)}^{1} {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.25

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.26

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.26.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 2.26.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 2.26.3

Addiere $2$ und $1$ .

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.27

Kombiniere $3$ und $\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (2 (x - 6) - x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.28

Vereinfache.

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Schritt 2.28.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x + 2 \cdot - 6 - x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.28.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 \cdot - 6) + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.28.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.28.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.28.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 x + 3 (2 \cdot - 6) + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.28.3.1.2

Multipliziere $3 (2 \cdot - 6)$ .

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Schritt 2.28.3.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$\frac{6 x + 3 \cdot - 12 + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.28.3.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 12$ .

$\frac{6 x - 36 + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.28.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{6 x - 36 - 3 x}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.28.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $6 x$ .

$\frac{3 x - 36}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.28.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 36$ heraus.

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Schritt 2.28.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{3 (x) - 36}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.28.4.2

Faktorisiere $3$ aus $- 36$ heraus.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 12}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2.28.4.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 12$ heraus.

$\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 12}{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x - 12}{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}}})$

Schritt 3.2

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 12) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{({(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 12) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 12) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x - 12) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.3.4

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} (1 + 0) - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 1 - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere ${(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = x - 6$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 6$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 6)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 6)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 6)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 6)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 6)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.8.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3}{2} \cdot {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - 6))}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.10

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)))}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 6)))}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.12

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot (1 + 0))}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.13.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.13.2

Mutltipliziere $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.13.3

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(x - 6)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - (x - 12) \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14

Vereinfache.

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Schritt 3.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + (- x + 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + 3 ((- x + 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.14.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + 3 (- x - - 12) \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ heraus.

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Schritt 3.14.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}}) + 3 (- x + 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x - - 12) \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}}) + 3 ((- x + 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}}) + 3 ((- x - - 12) \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + (- x + 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + (- x + 12) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - x \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 12 (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.4

Kombiniere $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 12 (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.14.3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 2 (6) (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 2 \cdot (6 (\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2})))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 6 (3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.7

Um $18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + 18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.8

Kombiniere $18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x}{2} + \frac{18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x + 18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.14.3.10.1

Faktorisiere $3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ aus $- 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} x + 18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ heraus.

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Schritt 3.14.3.10.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 3.14.3.10.1.1.1

Bewege ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 x {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} + 18 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.10.1.1.2

Bewege ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 x {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} + 18 \cdot (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.10.1.2

Faktorisiere $3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ aus $- 3 x {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x) + 18 \cdot (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.10.1.3

Faktorisiere $3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ aus $18 \cdot 2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x) + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (6 \cdot 2)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.10.1.4

Faktorisiere $3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ aus $3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x) + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (6 \cdot 2)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 6 \cdot 2)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.10.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.11

Um ${(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.12

Kombiniere ${(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.14

Schreibe $\frac{{(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.14.3.14.1

Faktorisiere ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ aus ${(x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)$ heraus.

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Schritt 3.14.3.14.1.1

Stelle ${(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ und $2$ um.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{3}{2}} + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.14.1.2

Faktorisiere ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ aus $2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{2}}) + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.14.1.3

Faktorisiere ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ aus $3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 12)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{2}}) + {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (3 (- x + 12))}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.14.1.4

Faktorisiere ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ aus ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{2}}) + {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (3 (- x + 12))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot {(x - 6)}^{\frac{2}{2}} + 3 (- x + 12))}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.14.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (x - 6) + 3 (- x + 12))}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.14.3

Vereinfache.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (x - 6) + 3 (- x + 12))}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.14.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot - 6 + 3 (- x + 12))}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.14.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 12 + 3 (- x + 12))}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.14.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 12 + 3 (- x) + 3 \cdot 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.14.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 12 - 3 x + 3 \cdot 12)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.14.8

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 12 - 3 x + 36)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.14.9

Subtrahiere $3 x$ von $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x - 12 + 36)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.3.14.10

Addiere $- 12$ und $36$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{2})}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.14.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 ({(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24))}{2}}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.4.2

Schreibe $\frac{\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{2}}{2 {(x - 6)}^{3}}$ als ein Produkt um.

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{2} \cdot \frac{1}{2 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.4.3

Mutltipliziere $\frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{2}$ mit $\frac{1}{2 {(x - 6)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{2 (2 {(x - 6)}^{3})}$

Schritt 3.14.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{3}}$

Schritt 3.14.4.5

Bringe ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{3} {(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 3.14.4.6

Multipliziere ${(x - 6)}^{3}$ mit ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.14.4.6.1

Bewege ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 ({(x - 6)}^{- \frac{1}{2}} {(x - 6)}^{3})}$

Schritt 3.14.4.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Schritt 3.14.4.6.3

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Schritt 3.14.4.6.4

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 3.14.4.6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Schritt 3.14.4.6.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.14.4.6.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Schritt 3.14.4.6.6.2

Addiere $- 1$ und $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (- x + 24)}{4 {(x - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.14.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 (- (x) + 24)}{4 {(x - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.14.6

Schreibe $24$ als $- 1 (- 24)$ um.

$f'' (x) = \frac{3 (- (x) - 1 \cdot - 24)}{4 {(x - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.14.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 24)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{3 (- (x - 24))}{4 {(x - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.14.8

Schreibe $- (x - 24)$ als $- 1 (x - 24)$ um.

$f'' (x) = \frac{3 (- 1 (x - 24))}{4 {(x - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 3.14.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{3 (x - 24)}{4 {(x - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 5.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 6}$ als ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 5.1.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 5.1.2

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 6)}^{1}}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 6}$

Schritt 5.1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 6}$

Schritt 5.1.5.2

Mutltipliziere ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 6}$

Schritt 5.1.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - 6$ .

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Schritt 5.1.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 6$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 5.1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 5.1.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 6$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 5.1.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 5.1.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 5.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 5.1.10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 5.1.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 5.1.11

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 5.1.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 5.1.11.3

Bringe ${(x - 6)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 6])}{x - 6}$

Schritt 5.1.11.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 6]}{x - 6}$

Schritt 5.1.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{x - 6}$

Schritt 5.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{x - 6}$

Schritt 5.1.14

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x - 6}$

Schritt 5.1.15

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.15.1

Addiere $1$ und $0$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - 6}$

Schritt 5.1.15.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 5.1.16

Um ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 \frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 5.1.17

Kombiniere ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 5.1.18

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 5.1.19

Multipliziere ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.19.1

Bewege ${(x - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2}} {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 5.1.19.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 5.1.19.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 5.1.19.4

Addiere $1$ und $1$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 5.1.19.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$3 \frac{\frac{{(x - 6)}^{1} \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 5.1.20

Vereinfache ${(x - 6)}^{1} \cdot 2$ .

$3 \frac{\frac{(x - 6) \cdot 2 - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 5.1.21

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 6$ .

$3 \frac{\frac{2 \cdot (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$

Schritt 5.1.22

Schreibe $\frac{\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 6}$ als ein Produkt um.

$3 (\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - 6})$

Schritt 5.1.23

Mutltipliziere $\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x - 6}$ .

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} (x - 6)}$

Schritt 5.1.24

Potenziere $x - 6$ mit $1$ .

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 ({(x - 6)}^{1} {(x - 6)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 5.1.25

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.26

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.26.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 5.1.26.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 5.1.26.3

Addiere $2$ und $1$ .

$3 \frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.1.27

Kombiniere $3$ und $\frac{2 (x - 6) - x}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (2 (x - 6) - x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.1.28

Vereinfache.

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Schritt 5.1.28.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x + 2 \cdot - 6 - x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.1.28.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 \cdot - 6) + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.1.28.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.28.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.28.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 x + 3 (2 \cdot - 6) + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.1.28.3.1.2

Multipliziere $3 (2 \cdot - 6)$ .

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Schritt 5.1.28.3.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$\frac{6 x + 3 \cdot - 12 + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.1.28.3.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 12$ .

$\frac{6 x - 36 + 3 (- x)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.1.28.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{6 x - 36 - 3 x}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.1.28.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $6 x$ .

$\frac{3 x - 36}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.1.28.4

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 36$ heraus.

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Schritt 5.1.28.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{3 (x) - 36}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.1.28.4.2

Faktorisiere $3$ aus $- 36$ heraus.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 12}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.1.28.4.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 12$ heraus.

$f' (x) = \frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{3 (x - 12)}{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 (x - 12) = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x - 12) = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (x - 12) = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (x - 12)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 6.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (x - 12)}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 6.3.1.2.1.2

Dividiere $x - 12$ durch $1$ .

$x - 12 = \frac{0}{3}$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x - 12 = 0$

Schritt 6.3.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 12$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{3 (x - 12)}{2 \sqrt{{(x - 6)}^{3}}}$

Schritt 7.2

Setze den Nenner in $\frac{3 (x - 12)}{2 \sqrt{{(x - 6)}^{3}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{{(x - 6)}^{3}} = 0$

Schritt 7.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{{(x - 6)}^{3}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{(x - 6)}^{3}}$ als ${(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ an.

$2^{2} {({(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 6)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - 6)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x - 6)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x - 6)}^{3} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 {(x - 6)}^{3} = 0$

Schritt 7.3.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 {(x - 6)}^{3} = 0$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 {(x - 6)}^{3} = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 {(x - 6)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 7.3.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.3.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 {(x - 6)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 7.3.3.1.2.1.2

Dividiere ${(x - 6)}^{3}$ durch $1$ .

${(x - 6)}^{3} = \frac{0}{4}$

Schritt 7.3.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

${(x - 6)}^{3} = 0$

Schritt 7.3.3.2

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 7.3.3.3

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 7.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{{(x - 6)}^{3}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 6)}^{3} < 0$

Schritt 7.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.5.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{{(x - 6)}^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Schritt 7.5.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 7.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.5.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x - 6 < \sqrt[3]{0}$

Schritt 7.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.5.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 7.5.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x - 6 < \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 7.5.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x - 6 < 0$

Schritt 7.5.3

Addiere $6$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x < 6$

Schritt 7.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 6$

$(- \infty, 6]$

$x \leq 6$

$(- \infty, 6]$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 12$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 12$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{3 ((12) - 24)}{4 {((12) - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $4$ aus $3 ((12) - 24)$ heraus.

$- \frac{4 (3 (3 - 6))}{4 {((12) - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {((12) - 6)}^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$- \frac{4 (3 (3 - 6))}{4 ({((12) - 6)}^{\frac{5}{2}})}$

Schritt 10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 (3 (3 - 6))}{4 {((12) - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 (3 - 6)}{{((12) - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 10.3

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$- \frac{3 \cdot - 3}{{(12 - 6)}^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 10.4

Subtrahiere $6$ von $12$ .

$- \frac{3 \cdot - 3}{6^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 10.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$- \frac{- 9}{6^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 10.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{9}{6^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 10.7

Multipliziere $- - \frac{9}{6^{\frac{5}{2}}}$ .

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Schritt 10.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{9}{6^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 10.7.2

Mutltipliziere $\frac{9}{6^{\frac{5}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{9}{6^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 11

$x = 12$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 12$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 12$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $12$ .

$f (12) = \frac{3 (12)}{\sqrt{(12) - 6}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$f (12) = \frac{36}{\sqrt{12 - 6}}$

Schritt 12.2.2

Subtrahiere $6$ von $12$ .

$f (12) = \frac{36}{\sqrt{6}}$

Schritt 12.2.3

Mutltipliziere $\frac{36}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$f (12) = \frac{36}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Schritt 12.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{36}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 12.2.4.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 12.2.4.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 12.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 12.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 12.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 12.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 12.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{6}$

Schritt 12.2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (12) = \frac{36 \sqrt{6}}{6}$

Schritt 12.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $6$ .

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Schritt 12.2.5.1

Faktorisiere $6$ aus $36 \sqrt{6}$ heraus.

$f (12) = \frac{6 (6 \sqrt{6})}{6}$

Schritt 12.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.5.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$f (12) = \frac{6 (6 \sqrt{6})}{6 (1)}$

Schritt 12.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (12) = \frac{6 (6 \sqrt{6})}{6 \cdot 1}$

Schritt 12.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (12) = \frac{6 \sqrt{6}}{1}$

Schritt 12.2.5.2.4

Dividiere $6 \sqrt{6}$ durch $1$ .

$f (12) = 6 \sqrt{6}$

Schritt 12.2.6

Die endgültige Lösung ist $6 \sqrt{6}$ .

$y = 6 \sqrt{6}$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{3 x}{\sqrt{x - 6}}$ .

$(12, 6 \sqrt{6})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 14