Analysis Beispiele

$x^{2} - x y + y^{2} = 10$ $2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1

Löse in $x^{2} - x y + y^{2} = 10$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} - x y + y^{2} - 10 = 0$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - y$ und $c = y^{2} - 10$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{y \pm \sqrt{{(- y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} - 10))}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$x = \frac{y \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10)}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.4.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{1 y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10)}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.4.1.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10)}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 \cdot (y^{2} - 10)}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.4.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 y^{2} - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.4.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 10$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 y^{2} + 40}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.4.1.7

Subtrahiere $4 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$x = \frac{y \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10)}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.5.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{1 y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10)}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10)}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 \cdot (y^{2} - 10)}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 y^{2} - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.5.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 10$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 y^{2} + 40}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.5.1.7

Subtrahiere $4 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

$x = \frac{y \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10)}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.6.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{1 y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10)}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.6.1.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (y^{2} - 10)}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.6.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 \cdot (y^{2} - 10)}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.6.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 y^{2} - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.6.1.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 10$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{y^{2} - 4 y^{2} + 40}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.6.1.7

Subtrahiere $4 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2 \cdot 1}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{y \pm \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 1.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$

Schritt 2

Löse das System $x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}, 2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$ .

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Schritt 2.1

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Ersetze alle $x$ in $2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$ durch $\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$ .

$2 {(\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2})}^{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache $2 {(\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2})}^{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$ an.

$2 (\frac{{(y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}^{2}}{2^{2}}) + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 (\frac{{(y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}^{2}}{4}) + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.1.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (\frac{{(y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}^{2}}{2 (2)}) + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{{(y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}^{2}}{2 \cdot 2}) + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}^{2}}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{{(y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}^{2}}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.4

Schreibe ${(y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}^{2}$ als $(y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) (y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})$ um.

$\frac{(y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) (y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.5

Multipliziere $(y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) (y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y (y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} (y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y \cdot y + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} (y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y \cdot y + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{y \cdot y + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1.6.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.6.1.2

Multipliziere $\sqrt{- 3 y^{2} + 40} \sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ .

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Schritt 2.1.2.1.1.6.1.2.1

Potenziere $\sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.6.1.2.2

Potenziere $\sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.6.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + {\sqrt{- 3 y^{2} + 40}}^{1 + 1}}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.6.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + {\sqrt{- 3 y^{2} + 40}}^{2}}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + {\sqrt{- 3 y^{2} + 40}}^{2}}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.6.1.3

Schreibe ${\sqrt{- 3 y^{2} + 40}}^{2}$ als $- 3 y^{2} + 40$ um.

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Schritt 2.1.2.1.1.6.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ als ${(- 3 y^{2} + 40)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + {({(- 3 y^{2} + 40)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.6.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + {(- 3 y^{2} + 40)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.6.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + {(- 3 y^{2} + 40)}^{\frac{2}{2}}}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.6.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.1.1.6.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + {(- 3 y^{2} + 40)}^{\frac{2}{2}}}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.6.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y - 3 y^{2} + 40}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y - 3 y^{2} + 40}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.6.1.3.5

Vereinfache.

$\frac{y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y - 3 y^{2} + 40}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y - 3 y^{2} + 40}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y - 3 y^{2} + 40}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.6.2

Subtrahiere $3 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + 40}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.6.3

Stelle die Faktoren von $\sqrt{- 3 y^{2} + 40} y$ um.

$\frac{- 2 y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.6.4

Addiere $y \sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ und $y \sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ .

$\frac{- 2 y^{2} + 2 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{- 2 y^{2} + 2 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 y^{2} + 2 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- y^{2}) + 2 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ heraus.

$\frac{2 (- y^{2}) + 2 (y \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + 40}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- y^{2}) + 2 (y \sqrt{- 3 y^{2} + 40})$ heraus.

$\frac{2 (- y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + 40}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.7.4

Faktorisiere $2$ aus $40$ heraus.

$\frac{2 (- y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + 2 \cdot 20}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.7.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + 2 (20)$ heraus.

$\frac{2 (- y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20)}{2} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.7.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1.7.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20)}{2 (1)} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.7.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20)}{2 \cdot 1} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.7.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20}{1} + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.7.6.4

Dividiere $- y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20$ durch $1$ .

$- y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$- y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$- y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + (\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.1.8

Kombiniere $\frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$ und $y$ .

$- y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{(y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) y}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$- y^{2} + y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{(y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) y}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.2

Um $- y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 - y^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{(y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) y}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Kombiniere $- y^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{- y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{(y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) y}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{- y^{2} \cdot 2 + (y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) y}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{- y^{2} \cdot 2 + (y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) y}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.4.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} \cdot 2 + (y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) y$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1.4.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} \cdot 2$ heraus.

$y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{y (- y \cdot 2) + (y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) y}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.4.1.2

Faktorisiere $y$ aus $(y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) y$ heraus.

$y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{y (- y \cdot 2) + y (y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.4.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- y \cdot 2) + y (y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})$ heraus.

$y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{y (- y \cdot 2 + y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{y (- y \cdot 2 + y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{y (- 2 y + y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.4.3

Addiere $- 2 y$ und $y$ .

$y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{y (- y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{y (- y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.5

Um $y \sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (- y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.2.1.6.1

Kombiniere $y \sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot 2}{2} + \frac{y (- y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot 2 + y (- y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot 2 + y (- y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.7.1

Faktorisiere $y$ aus $y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot 2 + y (- y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1.7.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot 2$ heraus.

$\frac{y (\sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot 2) + y (- y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.7.1.2

Faktorisiere $y$ aus $y (\sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot 2) + y (- y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})$ heraus.

$\frac{y (\sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot 2 - y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{y (\sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot 2 - y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ .

$\frac{y (2 \cdot \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.7.3

Addiere $2 \sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ und $\sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ .

$\frac{y (- y + 3 \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{y (- y + 3 \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.8

Um $20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y (- y + 3 \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 \cdot \frac{2}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.2.1.9.1

Kombiniere $20$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y (- y + 3 \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + \frac{20 \cdot 2}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y (- y + 3 \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + 20 \cdot 2}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.9.3

Mutltipliziere $20$ mit $2$ .

$\frac{y (- y + 3 \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{y (- y + 3 \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y (- y) + y (3 \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.10.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- y \cdot y + y (3 \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.10.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- y \cdot y + 3 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.10.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.2.1.10.4.1

Bewege $y$ .

$\frac{- (y \cdot y) + 3 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.1.2.1.10.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{- y^{2} + 3 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{- y^{2} + 3 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{- y^{2} + 3 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{- y^{2} + 3 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{- y^{2} + 3 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{- y^{2} + 3 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$y = 0, \sqrt{10}$

$x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 2.3

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$ durch $0$ .

$x = \frac{(0) + \sqrt{- 3 {(0)}^{2} + 40}}{2}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Vereinfache $\frac{(0) + \sqrt{- 3 {(0)}^{2} + 40}}{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = \frac{0 + \sqrt{- 3 \cdot 0 + 40}}{2}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$x = \frac{0 + \sqrt{0 + 40}}{2}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.1.3

Addiere $0$ und $40$ .

$x = \frac{0 + \sqrt{40}}{2}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 2.3.2.1.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{0 + \sqrt{4 (10)}}{2}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{0 + \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2}$

$y = 0$

$x = \frac{0 + \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{0 + 2 \sqrt{10}}{2}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.1.6

Addiere $0$ und $2 \sqrt{10}$ .

$x = \frac{2 \sqrt{10}}{2}$

$y = 0$

$x = \frac{2 \sqrt{10}}{2}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \sqrt{10}}{2}$

$y = 0$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Dividiere $\sqrt{10}$ durch $1$ .

$x = \sqrt{10}$

$y = 0$

$x = \sqrt{10}$

$y = 0$

$x = \sqrt{10}$

$y = 0$

$x = \sqrt{10}$

$y = 0$

$x = \sqrt{10}$

$y = 0$

Schritt 2.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $\sqrt{10}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$ durch $\sqrt{10}$ .

$x = \frac{(\sqrt{10}) + \sqrt{- 3 {(\sqrt{10})}^{2} + 40}}{2}$

$y = \sqrt{10}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache $\frac{(\sqrt{10}) + \sqrt{- 3 {(\sqrt{10})}^{2} + 40}}{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 2.4.2.1.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{- 3 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2} + 40}}{2}$

$y = \sqrt{10}$

Schritt 2.4.2.1.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{- 3 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 40}}{2}$

$y = \sqrt{10}$

Schritt 2.4.2.1.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{- 3 \cdot 10^{\frac{2}{2}} + 40}}{2}$

$y = \sqrt{10}$

Schritt 2.4.2.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.1.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{- 3 \cdot 10^{\frac{2}{2}} + 40}}{2}$

$y = \sqrt{10}$

Schritt 2.4.2.1.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{- 3 \cdot 10 + 40}}{2}$

$y = \sqrt{10}$

$x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{- 3 \cdot 10 + 40}}{2}$

$y = \sqrt{10}$

Schritt 2.4.2.1.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{- 3 \cdot 10 + 40}}{2}$

$y = \sqrt{10}$

$x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{- 3 \cdot 10 + 40}}{2}$

$y = \sqrt{10}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $10$ .

$x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{- 30 + 40}}{2}$

$y = \sqrt{10}$

Schritt 2.4.2.1.1.3

Addiere $- 30$ und $40$ .

$x = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{10}}{2}$

$y = \sqrt{10}$

Schritt 2.4.2.1.1.4

Addiere $\sqrt{10}$ und $\sqrt{10}$ .

$x = \frac{2 \sqrt{10}}{2}$

$y = \sqrt{10}$

$x = \frac{2 \sqrt{10}}{2}$

$y = \sqrt{10}$

Schritt 2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \sqrt{10}}{2}$

$y = \sqrt{10}$

Schritt 2.4.2.1.2.2

Dividiere $\sqrt{10}$ durch $1$ .

$x = \sqrt{10}$

$y = \sqrt{10}$

$x = \sqrt{10}$

$y = \sqrt{10}$

$x = \sqrt{10}$

$y = \sqrt{10}$

$x = \sqrt{10}$

$y = \sqrt{10}$

$x = \sqrt{10}$

$y = \sqrt{10}$

$x = \sqrt{10}$

$y = \sqrt{10}$

Schritt 3

Löse das System $x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}, 2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$ .

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Schritt 3.1

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Ersetze alle $x$ in $2 x^{2} + x y - y^{2} = 20$ durch $\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$ .

$2 {(\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2})}^{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache $2 {(\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2})}^{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2}$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$ an.

$2 (\frac{{(y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}^{2}}{2^{2}}) + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 (\frac{{(y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}^{2}}{4}) + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (\frac{{(y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}^{2}}{2 (2)}) + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{{(y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}^{2}}{2 \cdot 2}) + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}^{2}}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{{(y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}^{2}}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.4

Schreibe ${(y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}^{2}$ als $(y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) (y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})$ um.

$\frac{(y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) (y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.5

Multipliziere $(y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) (y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.2.1.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y (y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} (y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y \cdot y + y (- \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} (y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y \cdot y + y (- \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} (- \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{y \cdot y + y (- \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} (- \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1.2.1.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1.6.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{y^{2} + y (- \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} (- \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.6.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} (- \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.6.1.3

Multipliziere $- \sqrt{- 3 y^{2} + 40} (- \sqrt{- 3 y^{2} + 40})$ .

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Schritt 3.1.2.1.1.6.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + 1 \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.6.1.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.6.1.3.3

Potenziere $\sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.6.1.3.4

Potenziere $\sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ mit $1$ .

$\frac{y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.6.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + {\sqrt{- 3 y^{2} + 40}}^{1 + 1}}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.6.1.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + {\sqrt{- 3 y^{2} + 40}}^{2}}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + {\sqrt{- 3 y^{2} + 40}}^{2}}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.6.1.4

Schreibe ${\sqrt{- 3 y^{2} + 40}}^{2}$ als $- 3 y^{2} + 40$ um.

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Schritt 3.1.2.1.1.6.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ als ${(- 3 y^{2} + 40)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + {({(- 3 y^{2} + 40)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.6.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + {(- 3 y^{2} + 40)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.6.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + {(- 3 y^{2} + 40)}^{\frac{2}{2}}}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.6.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.1.6.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + {(- 3 y^{2} + 40)}^{\frac{2}{2}}}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.6.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y - 3 y^{2} + 40}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y - 3 y^{2} + 40}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.6.1.4.5

Vereinfache.

$\frac{y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y - 3 y^{2} + 40}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y - 3 y^{2} + 40}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y - 3 y^{2} + 40}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.6.2

Subtrahiere $3 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y + 40}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.6.3

Stelle die Faktoren von $- \sqrt{- 3 y^{2} + 40} y$ um.

$\frac{- 2 y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.6.4

Subtrahiere $y \sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ von $- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ .

$\frac{- 2 y^{2} - 2 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{- 2 y^{2} - 2 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 y^{2} - 2 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40$ und $2$ .

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Schritt 3.1.2.1.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y^{2}$ heraus.

$\frac{2 (- y^{2}) - 2 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ heraus.

$\frac{2 (- y^{2}) + 2 (- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + 40}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.7.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- y^{2}) + 2 (- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40})$ heraus.

$\frac{2 (- y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + 40}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.7.4

Faktorisiere $2$ aus $40$ heraus.

$\frac{2 (- y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + 2 \cdot 20}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.7.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + 2 (20)$ heraus.

$\frac{2 (- y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20)}{2} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.7.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.1.1.7.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20)}{2 (1)} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.7.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20)}{2 \cdot 1} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.7.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20}{1} + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.7.6.4

Dividiere $- y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20$ durch $1$ .

$- y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$- y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$- y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + (\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}) \cdot y - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.1.8

Kombiniere $\frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$ und $y$ .

$- y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{(y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) y}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$- y^{2} - y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{(y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) y}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.2

Um $- y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 - y^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{(y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) y}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.2.1.3.1

Kombiniere $- y^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{- y^{2} \cdot 2}{2} + \frac{(y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) y}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{- y^{2} \cdot 2 + (y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) y}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{- y^{2} \cdot 2 + (y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) y}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.2.1.4.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} \cdot 2 + (y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) y$ heraus.

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Schritt 3.1.2.1.4.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} \cdot 2$ heraus.

$- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{y (- y \cdot 2) + (y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) y}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.4.1.2

Faktorisiere $y$ aus $(y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) y$ heraus.

$- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{y (- y \cdot 2) + y (y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.4.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- y \cdot 2) + y (y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})$ heraus.

$- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{y (- y \cdot 2 + y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{y (- y \cdot 2 + y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{y (- 2 y + y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.4.3

Addiere $- 2 y$ und $y$ .

$- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{y (- y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 20 + \frac{y (- y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.5

Um $- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot \frac{2}{2} + \frac{y (- y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.2.1.6.1

Kombiniere $- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot 2}{2} + \frac{y (- y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot 2 + y (- y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot 2 + y (- y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.1.7.1

Faktorisiere $y$ aus $- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot 2 + y (- y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})$ heraus.

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Schritt 3.1.2.1.7.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot 2$ heraus.

$\frac{y (- \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot 2) + y (- y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.7.1.2

Faktorisiere $y$ aus $y (- \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot 2) + y (- y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})$ heraus.

$\frac{y (- \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot 2 - y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{y (- \sqrt{- 3 y^{2} + 40} \cdot 2 - y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{y (- 2 \sqrt{- 3 y^{2} + 40} - y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.7.3

Subtrahiere $\sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ von $- 2 \sqrt{- 3 y^{2} + 40}$ .

$\frac{y (- y - 3 \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{y (- y - 3 \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.8

Um $20$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y (- y - 3 \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + 20 \cdot \frac{2}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.2.1.9.1

Kombiniere $20$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y (- y - 3 \sqrt{- 3 y^{2} + 40})}{2} + \frac{20 \cdot 2}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{y (- y - 3 \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + 20 \cdot 2}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.9.3

Mutltipliziere $20$ mit $2$ .

$\frac{y (- y - 3 \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{y (- y - 3 \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y (- y) + y (- 3 \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.10.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- y \cdot y + y (- 3 \sqrt{- 3 y^{2} + 40}) + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.10.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- y \cdot y - 3 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.10.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.1.10.4.1

Bewege $y$ .

$\frac{- (y \cdot y) - 3 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.1.2.1.10.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{- y^{2} - 3 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{- y^{2} - 3 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{- y^{2} - 3 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{- y^{2} - 3 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{- y^{2} - 3 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

$\frac{- y^{2} - 3 y \sqrt{- 3 y^{2} + 40} + 40}{2} - y^{2} = 20$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$y = - \sqrt{10}, 0$

$x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \sqrt{10}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$ durch $- \sqrt{10}$ .

$x = \frac{(- \sqrt{10}) - \sqrt{- 3 {(- \sqrt{10})}^{2} + 40}}{2}$

$y = - \sqrt{10}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $\frac{(- \sqrt{10}) - \sqrt{- 3 {(- \sqrt{10})}^{2} + 40}}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{10}$ an.

$x = \frac{- \sqrt{10} - \sqrt{- 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{10}}^{2}) + 40}}{2}$

$y = - \sqrt{10}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{- \sqrt{10} - \sqrt{- 3 (1 {\sqrt{10}}^{2}) + 40}}{2}$

$y = - \sqrt{10}$

Schritt 3.3.2.1.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{10}}^{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{- \sqrt{10} - \sqrt{- 3 {\sqrt{10}}^{2} + 40}}{2}$

$y = - \sqrt{10}$

Schritt 3.3.2.1.1.4

Schreibe ${\sqrt{10}}^{2}$ als $10$ um.

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Schritt 3.3.2.1.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10}$ als $10^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{- \sqrt{10} - \sqrt{- 3 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2} + 40}}{2}$

$y = - \sqrt{10}$

Schritt 3.3.2.1.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- \sqrt{10} - \sqrt{- 3 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 40}}{2}$

$y = - \sqrt{10}$

Schritt 3.3.2.1.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{- \sqrt{10} - \sqrt{- 3 \cdot 10^{\frac{2}{2}} + 40}}{2}$

$y = - \sqrt{10}$

Schritt 3.3.2.1.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- \sqrt{10} - \sqrt{- 3 \cdot 10^{\frac{2}{2}} + 40}}{2}$

$y = - \sqrt{10}$

Schritt 3.3.2.1.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- \sqrt{10} - \sqrt{- 3 \cdot 10 + 40}}{2}$

$y = - \sqrt{10}$

$x = \frac{- \sqrt{10} - \sqrt{- 3 \cdot 10 + 40}}{2}$

$y = - \sqrt{10}$

Schritt 3.3.2.1.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{- \sqrt{10} - \sqrt{- 3 \cdot 10 + 40}}{2}$

$y = - \sqrt{10}$

$x = \frac{- \sqrt{10} - \sqrt{- 3 \cdot 10 + 40}}{2}$

$y = - \sqrt{10}$

Schritt 3.3.2.1.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $10$ .

$x = \frac{- \sqrt{10} - \sqrt{- 30 + 40}}{2}$

$y = - \sqrt{10}$

Schritt 3.3.2.1.1.6

Addiere $- 30$ und $40$ .

$x = \frac{- \sqrt{10} - \sqrt{10}}{2}$

$y = - \sqrt{10}$

Schritt 3.3.2.1.1.7

Subtrahiere $\sqrt{10}$ von $- \sqrt{10}$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{10}}{2}$

$y = - \sqrt{10}$

$x = \frac{- 2 \sqrt{10}}{2}$

$y = - \sqrt{10}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{10}$ heraus.

$x = \frac{2 (- \sqrt{10})}{2}$

$y = - \sqrt{10}$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.2.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (- \sqrt{10})}{2 (1)}$

$y = - \sqrt{10}$

Schritt 3.3.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (- \sqrt{10})}{2 \cdot 1}$

$y = - \sqrt{10}$

Schritt 3.3.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- \sqrt{10}}{1}$

$y = - \sqrt{10}$

Schritt 3.3.2.1.2.2.4

Dividiere $- \sqrt{10}$ durch $1$ .

$x = - \sqrt{10}$

$y = - \sqrt{10}$

$x = - \sqrt{10}$

$y = - \sqrt{10}$

$x = - \sqrt{10}$

$y = - \sqrt{10}$

$x = - \sqrt{10}$

$y = - \sqrt{10}$

$x = - \sqrt{10}$

$y = - \sqrt{10}$

$x = - \sqrt{10}$

$y = - \sqrt{10}$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{y - \sqrt{- 3 y^{2} + 40}}{2}$ durch $0$ .

$x = \frac{(0) - \sqrt{- 3 {(0)}^{2} + 40}}{2}$

$y = 0$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $\frac{(0) - \sqrt{- 3 {(0)}^{2} + 40}}{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.2.1.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = \frac{0 - \sqrt{- 3 \cdot 0 + 40}}{2}$

$y = 0$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$x = \frac{0 - \sqrt{0 + 40}}{2}$

$y = 0$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Addiere $0$ und $40$ .

$x = \frac{0 - \sqrt{40}}{2}$

$y = 0$

Schritt 3.4.2.1.1.4

Schreibe $40$ als $2^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 3.4.2.1.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{0 - \sqrt{4 (10)}}{2}$

$y = 0$

Schritt 3.4.2.1.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{0 - \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2}$

$y = 0$

$x = \frac{0 - \sqrt{2^{2} \cdot 10}}{2}$

$y = 0$

Schritt 3.4.2.1.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{0 - (2 \sqrt{10})}{2}$

$y = 0$

Schritt 3.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{0 - 2 \sqrt{10}}{2}$

$y = 0$

Schritt 3.4.2.1.1.7

Subtrahiere $2 \sqrt{10}$ von $0$ .

$x = \frac{- 2 \sqrt{10}}{2}$

$y = 0$

$x = \frac{- 2 \sqrt{10}}{2}$

$y = 0$

Schritt 3.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{10}$ heraus.

$x = \frac{2 (- \sqrt{10})}{2}$

$y = 0$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (- \sqrt{10})}{2 (1)}$

$y = 0$

Schritt 3.4.2.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (- \sqrt{10})}{2 \cdot 1}$

$y = 0$

Schritt 3.4.2.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- \sqrt{10}}{1}$

$y = 0$

Schritt 3.4.2.1.2.2.4

Dividiere $- \sqrt{10}$ durch $1$ .

$x = - \sqrt{10}$

$y = 0$

$x = - \sqrt{10}$

$y = 0$

$x = - \sqrt{10}$

$y = 0$

$x = - \sqrt{10}$

$y = 0$

$x = - \sqrt{10}$

$y = 0$

$x = - \sqrt{10}$

$y = 0$

$x = - \sqrt{10}$

$y = 0$

Schritt 4

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(\sqrt{10}, 0)$

$(\sqrt{10}, \sqrt{10})$

$(- \sqrt{10}, - \sqrt{10})$

$(- \sqrt{10}, 0)$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(\sqrt{10}, 0), (\sqrt{10}, \sqrt{10}), (- \sqrt{10}, - \sqrt{10}), (- \sqrt{10}, 0)$

Gleichungsform:

$x = \sqrt{10}, y = 0$

$x = \sqrt{10}, y = \sqrt{10}$

$x = - \sqrt{10}, y = - \sqrt{10}$

$x = - \sqrt{10}, y = 0$

Schritt 6