Analysis Beispiele

$y = \log_{6} (4 x + 4)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \log_{6} (4 y + 4)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\log_{6} (4 y + 4) = x$ um.

$\log_{6} (4 y + 4) = x$

Schritt 2.2

Schreibe $\log_{6} (4 y + 4) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$6^{x} = 4 y + 4$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $4 y + 4 = 6^{x}$ um.

$4 y + 4 = 6^{x}$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = 6^{x} - 4$

Schritt 2.3.3

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 6^{x} - 4$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = 6^{x} - 4$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{6^{x}}{4} + \frac{- 4}{4}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{6^{x}}{4} + \frac{- 4}{4}$

Schritt 2.3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{6^{x}}{4} + \frac{- 4}{4}$

Schritt 2.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.3.1

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$y = \frac{6^{x}}{4} - 1$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{4} - 1$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{4} - 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \log_{6} (4 x + 4)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\log_{6} (4 x + 4))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (4 x + 4)) = \frac{6^{\log_{6} (4 x + 4)}}{4} - 1$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1.1

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\log_{6} (4 x + 4)) = \frac{4 x + 4}{4} - 1$

Schritt 4.2.3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4$ heraus.

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$f^{- 1} (\log_{6} (4 x + 4)) = \frac{4 (x) + 4}{4} - 1$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (\log_{6} (4 x + 4)) = \frac{4 (x) + 4 (1)}{4} - 1$

Schritt 4.2.3.1.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x) + 4 (1)$ heraus.

$f^{- 1} (\log_{6} (4 x + 4)) = \frac{4 (x + 1)}{4} - 1$

Schritt 4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\log_{6} (4 x + 4)) = \frac{4 (x + 1)}{4} - 1$

Schritt 4.2.3.2.2

Dividiere $x + 1$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (4 x + 4)) = x + 1 - 1$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (4 x + 4)) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\log_{6} (4 x + 4)) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{6^{x}}{4} - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{6^{x}}{4} - 1) = \log_{6} (4 (\frac{6^{x}}{4} - 1) + 4)$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{6^{x}}{4} - 1) = \log_{6} (4 (\frac{6^{x}}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4)$

Schritt 4.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{6^{x}}{4} - 1) = \log_{6} (4 (\frac{6^{x}}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4)$

Schritt 4.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{6^{x}}{4} - 1) = \log_{6} (6^{x} + 4 \cdot - 1 + 4)$

Schritt 4.3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f (\frac{6^{x}}{4} - 1) = \log_{6} (6^{x} - 4 + 4)$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6^{x} - 4 + 4$ .

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Schritt 4.3.4.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f (\frac{6^{x}}{4} - 1) = \log_{6} (6^{x} + 0)$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $6^{x}$ und $0$ .

$f (\frac{6^{x}}{4} - 1) = \log_{6} (6^{x})$

Schritt 4.3.5

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (\frac{6^{x}}{4} - 1) = x \log_{6} (6)$

Schritt 4.3.6

Die logarithmische Basis $6$ von $6$ ist $1$ .

$f (\frac{6^{x}}{4} - 1) = x \cdot 1$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{6^{x}}{4} - 1) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{4} - 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \log_{6} (4 x + 4)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6^{x}}{4} - 1$