Analysis Beispiele

$\sin (x) - \cos (x)$

Schritt 1

Schreibe $\sin (x) - \cos (x)$ als Funktion.

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) + \sin (x)$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (x) + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Schritt 5

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 7

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 8

Separiere Brüche.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 9

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 10

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 11

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Schritt 12

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\tan (x) = - 1$

Schritt 13

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- 1)$

Schritt 14

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 14.1

Der genau Wert von $\arctan (- 1)$ ist $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Schritt 15

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Schritt 16

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 16.1

Addiere $2 π$ zu $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Schritt 16.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{4}$ ist positiv und gleich $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Schritt 17

Die Lösung der Gleichung $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Schritt 18

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - \frac{π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \sin (- \frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 19

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 19.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.1.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- \sin (\frac{7 π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 19.1.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 19.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 19.1.4

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 19.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 19.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 19.1.5

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{7 π}{4})$

Schritt 19.1.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 19.1.7

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 19.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 19.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 19.2.2

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 19.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 19.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 19.2.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{2}$

Schritt 20

$x = - \frac{π}{4}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - \frac{π}{4}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 21

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - \frac{π}{4}$ .

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Schritt 21.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{π}{4}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (- \frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 21.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 21.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 21.2.1.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (\frac{7 π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 21.2.1.2

$f (- \frac{π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 21.2.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (- \frac{π}{4})$

Schritt 21.2.1.4

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{4})$

Schritt 21.2.1.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 21.2.1.6

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 21.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 21.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 21.2.2.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 21.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 21.2.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Schritt 21.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 21.2.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 21.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 21.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Schritt 21.2.2.3.2.4

Dividiere $- \sqrt{2}$ durch $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \sqrt{2}$

Schritt 21.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Schritt 22

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 π}{4}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 23

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 23.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 23.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 23.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 23.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 23.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 23.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 23.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 23.2.2

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 23.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 23.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Schritt 23.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 23.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 23.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 23.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

Schritt 23.2.3.2.4

Dividiere $- \sqrt{2}$ durch $1$ .

$- \sqrt{2}$

Schritt 24

$x = \frac{3 π}{4}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{3 π}{4}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 25

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{3 π}{4}$ .

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Schritt 25.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 25.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 25.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 25.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 25.2.1.2

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{3 π}{4})$

Schritt 25.2.1.3

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

Schritt 25.2.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 25.2.1.5

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 25.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 25.2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 25.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 25.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Schritt 25.2.2.2

Addiere $\sqrt{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 25.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 25.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 25.2.2.3.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2}$

Schritt 25.2.3

Die endgültige Lösung ist $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Schritt 26

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{4}, - \sqrt{2})$ ist ein lokales Minimum

$(\frac{3 π}{4}, \sqrt{2})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 27