Analysis Beispiele

$5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$

Schritt 1

Schreibe $5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$ als Funktion.

$f (x) = 5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 \cos^{2} (x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$5 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$5 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$- 10 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 \cos (x) \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 3.2.4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 3.2.5

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 3.2.6

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 3.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 10 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 3.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 3.2.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 3.2.10

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 3.2.11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 3.2.12

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 10 \cos (x))$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 10 \cos (x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 10 \cos (x)$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 10 \frac{d}{d x} \cos (x)$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 10 (- \sin (x))$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 10 \sin (x)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) - 10 (- \sin^{2} (x)) + 10 \sin (x)$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x) + 10 \sin (x)$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x) = 0$

Schritt 5

Faktorisiere $- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $10 \cos (x)$ aus $- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $10 \cos (x)$ aus $- 10 \cos (x) \sin (x)$ heraus.

$10 \cos (x) (- 1 \sin (x)) - 10 \cos (x) = 0$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $10 \cos (x)$ aus $- 10 \cos (x)$ heraus.

$10 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 10 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $10 \cos (x)$ aus $10 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 10 \cos (x) \cdot - 1$ heraus.

$10 \cos (x) (- 1 \sin (x) - 1) = 0$

Schritt 5.2

Schreibe $- 1 \sin (x)$ als $- \sin (x)$ um.

$10 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$

Schritt 6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 7

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $\cos (x)$ gleich $0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 7.2

Löse $\cos (x) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 7.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 7.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 7.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 7.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 7.2.5

Die Lösung der Gleichung $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 8

Setze $- \sin (x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Setze $- \sin (x) - 1$ gleich $0$ .

$- \sin (x) - 1 = 0$

Schritt 8.2

Löse $- \sin (x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \sin (x) = 1$

Schritt 8.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \sin (x) = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 8.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 8.2.2.2.2

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

Schritt 8.2.3

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x = \arcsin (- 1)$

Schritt 8.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.4.1

Der genau Wert von $\arcsin (- 1)$ ist $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Schritt 8.2.5

Die Sinusfunktion ist negativ im dritten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere die Lösung von $2 π$ , um einen Referenzwinkel zu ermitteln. Addiere als nächstes diesen Referenzwinkel zu $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Schritt 8.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 8.2.6.1

Subtrahiere $2 π$ von $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Schritt 8.2.6.2

Der resultierende Winkel von $\frac{3 π}{2}$ ist positiv, kleiner als $2 π$ und gleich $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 8.2.7

Die Lösung der Gleichung $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Schritt 9

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $10 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 10 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 11

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- 10 \cdot 0^{2} + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 11.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 10 \cdot 0 + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $- 10$ mit $0$ .

$0 + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 11.1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 + 10 \cdot 1^{2} + 10 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 11.1.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$0 + 10 \cdot 1 + 10 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 11.1.6

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$0 + 10 + 10 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 11.1.7

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 + 10 + 10 \cdot 1$

Schritt 11.1.8

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$0 + 10 + 10$

Schritt 11.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 11.2.1

Addiere $0$ und $10$ .

$10 + 10$

Schritt 11.2.2

Addiere $10$ und $10$ .

$20$

Schritt 12

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{π}{2}$ .

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Schritt 13.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 10 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 13.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 13.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 0^{2} - 10 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 13.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 0 - 10 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 13.2.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 10 \sin (\frac{π}{2})$

Schritt 13.2.1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 10 \cdot 1$

Schritt 13.2.1.5

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 10$

Schritt 13.2.2

Subtrahiere $10$ von $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 10$

Schritt 13.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 10$ .

$y = - 10$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{3 π}{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 10 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 10 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 15

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- 10 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 10 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 15.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$- 10 \cdot 0^{2} + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 10 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 15.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 10 \cdot 0 + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 10 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 15.1.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $0$ .

$0 + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 10 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 15.1.5

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$0 + 10 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 10 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 15.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 + 10 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 10 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 15.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 + 10 {(- 1)}^{2} + 10 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 15.1.8

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$0 + 10 \cdot 1 + 10 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 15.1.9

Mutltipliziere $10$ mit $1$ .

$0 + 10 + 10 \sin (\frac{3 π}{2})$

Schritt 15.1.10

$0 + 10 + 10 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Schritt 15.1.11

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{2})$ ist $1$ .

$0 + 10 + 10 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 15.1.12

Multipliziere $10 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 15.1.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 + 10 + 10 \cdot - 1$

Schritt 15.1.12.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$0 + 10 - 10$

Schritt 15.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 15.2.1

Addiere $0$ und $10$ .

$10 - 10$

Schritt 15.2.2

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$0$

Schritt 16

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 16.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Schritt 16.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 4$ , aus dem Intervall $(- \infty, - \frac{π}{2})$ in die erste Ableitung $- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 16.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f' (- 4) = - 10 \cos (- 4) \sin (- 4) - 10 \cos (- 4)$

Schritt 16.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.2.2.1.1

Berechne $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 10 \cdot (- 0.65364362 \sin (- 4)) - 10 \cos (- 4)$

Schritt 16.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = 6.5364362 \sin (- 4) - 10 \cos (- 4)$

Schritt 16.2.2.1.3

Berechne $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = 6.5364362 \cdot 0.75680249 - 10 \cos (- 4)$

Schritt 16.2.2.1.4

Mutltipliziere $6.5364362$ mit $0.75680249$ .

$f' (- 4) = 4.94679123 - 10 \cos (- 4)$

Schritt 16.2.2.1.5

Berechne $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = 4.94679123 - 10 \cdot - 0.65364362$

Schritt 16.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = 4.94679123 + 6.5364362$

Schritt 16.2.2.2

Addiere $4.94679123$ und $6.5364362$ .

$f' (- 4) = 11.48322744$

Schritt 16.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $11.48322744$ .

$11.48322744$

Schritt 16.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ in die erste Ableitung $- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 16.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = - 10 \cos (0) \sin (0) - 10 \cos (0)$

Schritt 16.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.3.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f' (0) = - 10 \cdot (1 \sin (0)) - 10 \cos (0)$

Schritt 16.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$f' (0) = - 10 \sin (0) - 10 \cos (0)$

Schritt 16.3.2.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f' (0) = - 10 \cdot 0 - 10 \cos (0)$

Schritt 16.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $0$ .

$f' (0) = 0 - 10 \cos (0)$

Schritt 16.3.2.1.5

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f' (0) = 0 - 10 \cdot 1$

Schritt 16.3.2.1.6

Mutltipliziere $- 10$ mit $1$ .

$f' (0) = 0 - 10$

Schritt 16.3.2.2

Subtrahiere $10$ von $0$ .

$f' (0) = - 10$

Schritt 16.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 10$ .

$- 10$

Schritt 16.4

Setze eine beliebige Zahl, wie $3$ , aus dem Intervall $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ in die erste Ableitung $- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 16.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = - 10 \cos (3) \sin (3) - 10 \cos (3)$

Schritt 16.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.4.2.1.1

Berechne $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 10 \cdot (- 0.98999249 \sin (3)) - 10 \cos (3)$

Schritt 16.4.2.1.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 9.89992496 \sin (3) - 10 \cos (3)$

Schritt 16.4.2.1.3

Berechne $\sin (3)$ .

$f' (3) = 9.89992496 \cdot 0.14112 - 10 \cos (3)$

Schritt 16.4.2.1.4

Mutltipliziere $9.89992496$ mit $0.14112$ .

$f' (3) = 1.39707749 - 10 \cos (3)$

Schritt 16.4.2.1.5

Berechne $\cos (3)$ .

$f' (3) = 1.39707749 - 10 \cdot - 0.98999249$

Schritt 16.4.2.1.6

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 1.39707749 + 9.89992496$

Schritt 16.4.2.2

Addiere $1.39707749$ und $9.89992496$ .

$f' (3) = 11.29700245$

Schritt 16.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $11.29700245$ .

$11.29700245$

Schritt 16.5

Setze eine beliebige Zahl, wie $7$ , aus dem Intervall $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ in die erste Ableitung $- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 16.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = - 10 \cos (7) \sin (7) - 10 \cos (7)$

Schritt 16.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 16.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.5.2.1.1

Berechne $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 10 \cdot (0.75390225 \sin (7)) - 10 \cos (7)$

Schritt 16.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 10$ mit $0.75390225$ .

$f' (7) = - 7.53902254 \sin (7) - 10 \cos (7)$

Schritt 16.5.2.1.3

Berechne $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 7.53902254 \cdot 0.65698659 - 10 \cos (7)$

Schritt 16.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 7.53902254$ mit $0.65698659$ .

$f' (7) = - 4.95303677 - 10 \cos (7)$

Schritt 16.5.2.1.5

Berechne $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 4.95303677 - 10 \cdot 0.75390225$

Schritt 16.5.2.1.6

Mutltipliziere $- 10$ mit $0.75390225$ .

$f' (7) = - 4.95303677 - 7.53902254$

Schritt 16.5.2.2

Subtrahiere $7.53902254$ von $- 4.95303677$ .

$f' (7) = - 12.49205932$

Schritt 16.5.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 12.49205932$ .

$- 12.49205932$

Schritt 16.6

Da die erste Ableitung um $x = - \frac{π}{2}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = - \frac{π}{2}$ ein lokales Maximum.

$x = - \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16.7

Da die erste Ableitung um $x = \frac{π}{2}$ herum das Vorzeichen von negativ zu positiv gewechselt hat, ist $x = \frac{π}{2}$ ein lokales Minimum.

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

Schritt 16.8

Da die erste Ableitung um $x = \frac{3 π}{2}$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = \frac{3 π}{2}$ ein lokales Maximum.

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16.9

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 5 \cos^{2} (x) - 10 \sin (x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Maximum

$x = - \frac{π}{2}$ ist ein lokales Maximum

$x = \frac{π}{2}$ ist ein lokales Minimum

$x = \frac{3 π}{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 17