Analysis Beispiele

$\frac{8}{x^{2} - 4 x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{8}{x^{2} - 4 x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{8}{x^{2} - 4 x}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8}{x^{2} - 4 x}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$

Schritt 2.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} - 4 x}$ als ${(x^{2} - 4 x)}^{- 1}$ um.

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x)}^{- 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} - 4 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4 x$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4 x$ .

$8 (- {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Schritt 2.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 ({(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Schritt 2.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \cdot 1)$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$ um.

$- (2 x - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (2 x) - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(- 2 x - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.4.7

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 4 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.7.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x - 4 x)}^{2}}$

Schritt 2.4.7.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x + x \cdot - 4)}^{2}}$

Schritt 2.4.7.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 4$ heraus.

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x (x - 4))}^{2}}$

Schritt 2.4.7.2

Wende die Produktregel auf $x (x - 4)$ an.

$(- 2 x + 4) \frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 2.4.8

Mutltipliziere $- 2 x + 4$ mit $\frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 x + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 2.4.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 4$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.9.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{(2 (- x) + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 2.4.9.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{(2 (- x) + 2 (2)) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 2.4.9.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (2)$ heraus.

$\frac{2 (- x + 2) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 2.4.9.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{16 (- x + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 2.4.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{16 (- (x) + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 2.4.11

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{16 (- (x) - 1 (- 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 2.4.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{16 (- (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 2.4.13

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$\frac{16 (- 1 (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 2.4.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} \frac{x - 2}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 2$ und $g (x) = x^{2} {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} {(x - 4)}^{2})}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 4$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 4$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) (1 + 0)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4) \cdot 1) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6.6

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x - 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 \cdot ({(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6.6.2

Kombiniere $- 16$ und $\frac{x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x)}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.6.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Wende die Produktregel auf $x^{2} {(x - 4)}^{2}$ an.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} - (x - 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 (x - 4)) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x + 2 \cdot - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 ((- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.1

Faktorisiere $16$ aus $16 x^{2} {(x - 4)}^{2} + 16 (- x - - 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.1.1

Faktorisiere $16$ aus $16 x^{2} {(x - 4)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.1.2

Faktorisiere $16$ aus $16 (- x - - 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 ((- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.1.3

Faktorisiere $16$ aus $16 (x^{2} {(x - 4)}^{2}) + 16 ((- x - - 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} {(x - 4)}^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.2

Schreibe ${(x - 4)}^{2}$ als $(x - 4) (x - 4)$ um.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} ((x - 4) (x - 4)) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.3

Multipliziere $(x - 4) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x (x - 4) - 4 (x - 4)) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.4.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.4.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.4.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} (x^{2} - 8 x + 16) + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.6.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.6.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{2 + 2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.6.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{2} x + x^{2} \cdot 16 + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.6.3

Bringe $16$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{2} x + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.7.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 (x \cdot x^{2}) + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{1 + 2} + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 \cdot x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.9.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{2} x + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.9.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.9.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} + x^{2} \cdot 2 \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot x^{2} \cdot - 4 + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 {(x - 4)}^{2} x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.5

Schreibe ${(x - 4)}^{2}$ als $(x - 4) (x - 4)$ um.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 ((x - 4) (x - 4)) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.6

Multipliziere $(x - 4) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.9.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.9.7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.9.7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.7.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.7.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.7.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x^{2} - 8 x + 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.9.9.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.9.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + (2 x^{2} - 16 x + 32) x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.10

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{2} x - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.9.11.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.9.11.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.11.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.9.11.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2}) - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.11.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{1 + 2} - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.11.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{3} - 16 x \cdot x + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.11.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.9.11.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{3} - 16 (x \cdot x) + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.9.11.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 2 x^{3} - 16 x^{2} + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.10

Addiere $2 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (4 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x^{2} + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.11

Subtrahiere $16 x^{2}$ von $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + (- x + 2) (4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.12

Multipliziere $(- x + 2) (4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - x (4 x^{3}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.13.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x^{3}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13.2

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.13.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13.2.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.13.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 (x^{3} x)) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{3 + 1}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13.2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{4}) - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - x (- 24 x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x \cdot x^{2}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13.5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.13.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 (x^{2} x)) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.13.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 (x^{2} x)) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{2 + 1}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} - 1 \cdot (- 24 x^{3}) - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 24$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - x (32 x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 1 \cdot (32 x \cdot x) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13.8

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.13.8.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 1 \cdot (32 (x \cdot x)) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 1 \cdot (32 x^{2}) + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $32$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 2 (4 x^{3}) + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13.10

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 8 x^{3} + 2 (- 24 x^{2}) + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13.11

Mutltipliziere $- 24$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 8 x^{3} - 48 x^{2} + 2 (32 x))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.13.12

Mutltipliziere $32$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 24 x^{3} - 32 x^{2} + 8 x^{3} - 48 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.14

Addiere $24 x^{3}$ und $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{3} - 32 x^{2} - 48 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.15

Subtrahiere $48 x^{2}$ von $- 32 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 4 x^{4} + 32 x^{3} - 80 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.16

Subtrahiere $4 x^{4}$ von $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} + 32 x^{3} - 80 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.17

Addiere $- 8 x^{3}$ und $32 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} + 16 x^{2} - 80 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.18

Subtrahiere $80 x^{2}$ von $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.19

Schreibe $- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.19.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.19.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + 24 x^{3} - 64 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.19.1.2

Faktorisiere $x$ aus $24 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2}) - 64 x^{2} + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.19.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 64 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2}) + x (- 64 x) + 64 x)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.19.1.4

Faktorisiere $x$ aus $64 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2}) + x (- 64 x) + x \cdot 64)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.19.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (- 3 x^{3}) + x (24 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3} + 24 x^{2}) + x (- 64 x) + x \cdot 64)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.19.1.6

Faktorisiere $x$ aus $x (- 3 x^{3} + 24 x^{2}) + x (- 64 x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x) + x \cdot 64)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.19.1.7

Faktorisiere $x$ aus $x (- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x) + x \cdot 64$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16 (x (- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.6.19.2

Faktorisiere $- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.19.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 3$

Schritt 3.7.6.19.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 64, \pm 21.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 32, \pm 10.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}, \pm 16, \pm 5.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}$

Schritt 3.7.6.19.2.3

Setze $4$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $4$ eine Wurzel des Polynoms.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.19.2.3.1

Setze $4$ in das Polynom ein.

$- 3 \cdot 4^{3} + 24 \cdot 4^{2} - 64 \cdot 4 + 64$

Schritt 3.7.6.19.2.3.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$- 3 \cdot 64 + 24 \cdot 4^{2} - 64 \cdot 4 + 64$

Schritt 3.7.6.19.2.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $64$ .

$- 192 + 24 \cdot 4^{2} - 64 \cdot 4 + 64$

Schritt 3.7.6.19.2.3.4

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- 192 + 24 \cdot 16 - 64 \cdot 4 + 64$

Schritt 3.7.6.19.2.3.5

Mutltipliziere $24$ mit $16$ .

$- 192 + 384 - 64 \cdot 4 + 64$

Schritt 3.7.6.19.2.3.6

Addiere $- 192$ und $384$ .

$192 - 64 \cdot 4 + 64$

Schritt 3.7.6.19.2.3.7

Mutltipliziere $- 64$ mit $4$ .

$192 - 256 + 64$

Schritt 3.7.6.19.2.3.8

Subtrahiere $256$ von $192$ .

$- 64 + 64$

Schritt 3.7.6.19.2.3.9

Addiere $- 64$ und $64$ .

$0$

Schritt 3.7.6.19.2.4

Da $4$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 4$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64}{x - 4}$

Schritt 3.7.6.19.2.5

Dividiere $- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64$ durch $x - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.6.19.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$4$

$3 x^{3}$

$24 x^{2}$

$64 x$

$64$

Schritt 3.7.6.19.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$3 x^{2}$
	$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$

Schritt 3.7.6.19.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			-	$3 x^{3}$	+	$12 x^{2}$

Schritt 3.7.6.19.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{3} + 12 x^{2}$

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$

Schritt 3.7.6.19.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

Schritt 3.7.6.19.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$3 x^{2}$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$

Schritt 3.7.6.19.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$

Schritt 3.7.6.19.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$48 x$

Schritt 3.7.6.19.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 x^{2} - 48 x$

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$

Schritt 3.7.6.19.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$

Schritt 3.7.6.19.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$

Schritt 3.7.6.19.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 16 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$

Schritt 3.7.6.19.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$
							-	$16 x$	+	$64$

Schritt 3.7.6.19.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 16 x + 64$

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$
							+	$16 x$	-	$64$

Schritt 3.7.6.19.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$16$
$x$	-	$4$	-	$3 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	-	$64 x$	+	$64$
			+	$3 x^{3}$	-	$12 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$64 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$48 x$
							-	$16 x$	+	$64$
							+	$16 x$	-	$64$
										$0$

Schritt 3.7.6.19.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$- 3 x^{2} + 12 x - 16$

Schritt 3.7.6.19.2.6

Schreibe $- 3 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 64$ als eine Menge von Faktoren.

$f'' (x) = - \frac{16 (x ((x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{16 (x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{{(x^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.7

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.7.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.7.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{2 \cdot 2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.7.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{4} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

Schritt 3.7.7.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.7.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{4} {(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 3.7.7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 3.7.7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.7.3.1

Faktorisiere $x$ aus $16 x (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{x ((16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x^{4} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 3.7.7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.7.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4} {(x - 4)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{x ((16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x (x^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Schritt 3.7.7.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{x ((16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x (x^{3} {(x - 4)}^{4})}$

Schritt 3.7.7.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{(16 (x - 4)) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 3.7.7.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 4$ und ${(x - 4)}^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.7.4.1

Faktorisiere $x - 4$ aus $16 (x - 4) (- 3 x^{2} + 12 x - 16)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{x^{3} {(x - 4)}^{4}}$

Schritt 3.7.7.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.7.4.2.1

Faktorisiere $x - 4$ aus $x^{3} {(x - 4)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{(x - 4) (x^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Schritt 3.7.7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16))}{(x - 4) (x^{3} {(x - 4)}^{3})}$

Schritt 3.7.7.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{16 (- 3 x^{2} + 12 x - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 3.7.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) + 12 x - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 3.7.9

Faktorisiere $- 1$ aus $12 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2}) - (- 12 x) - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 3.7.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - (- 12 x)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 12 x) - 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 3.7.11

Schreibe $- 16$ als $- 1 (16)$ um.

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 12 x) - 1 \cdot 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 3.7.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2} - 12 x) - 1 (16)$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{16 (- (3 x^{2} - 12 x + 16))}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 3.7.13

Schreibe $- (3 x^{2} - 12 x + 16)$ als $- 1 (3 x^{2} - 12 x + 16)$ um.

$f'' (x) = - \frac{16 (- 1 (3 x^{2} - 12 x + 16))}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 3.7.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 3.7.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}})$

Schritt 3.7.16

Mutltipliziere $\frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{16 (3 x^{2} - 12 x + 16)}{x^{3} {(x - 4)}^{3}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8}{x^{2} - 4 x}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 4 x}]$

Schritt 5.1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} - 4 x}$ als ${(x^{2} - 4 x)}^{- 1}$ um.

$8 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x)}^{- 1}]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} - 4 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4 x$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4 x$ .

$8 (- {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Schritt 5.1.3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 ({(x^{2} - 4 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x])$

Schritt 5.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Schritt 5.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Schritt 5.1.3.4

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4 \cdot 1)$

Schritt 5.1.3.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 8 {(x^{2} - 4 x)}^{- 2} (2 x - 4)$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

Schritt 5.1.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.2.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

Schritt 5.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$

Schritt 5.1.4.3

Stelle die Faktoren von $- \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}} (2 x - 4)$ um.

$- (2 x - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (2 x) - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(- 2 x - - 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x^{2} - 4 x)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.7

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 4 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.7.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x - 4 x)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.7.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x \cdot x + x \cdot - 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.7.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 4$ heraus.

$(- 2 x + 4) \frac{8}{{(x (x - 4))}^{2}}$

Schritt 5.1.4.7.2

Wende die Produktregel auf $x (x - 4)$ an.

$(- 2 x + 4) \frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.8

Mutltipliziere $- 2 x + 4$ mit $\frac{8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 x + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 4$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.9.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{(2 (- x) + 4) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.9.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{(2 (- x) + 2 (2)) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.9.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (2)$ heraus.

$\frac{2 (- x + 2) \cdot 8}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.9.2

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{16 (- x + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{16 (- (x) + 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.11

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{16 (- (x) - 1 (- 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{16 (- (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.13

Schreibe $- (x - 2)$ als $- 1 (x - 2)$ um.

$\frac{16 (- 1 (x - 2))}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 5.1.4.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

$16 (x - 2) = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $16 (x - 2) = 0$ durch $16$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $16 (x - 2) = 0$ durch $16$ .

$\frac{16 (x - 2)}{16} = \frac{0}{16}$

Schritt 6.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 (x - 2)}{16} = \frac{0}{16}$

Schritt 6.3.1.2.1.2

Dividiere $x - 2$ durch $1$ .

$x - 2 = \frac{0}{16}$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $16$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 6.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{16 (x - 2)}{x^{2} {(x - 4)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 7.2.2

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 7.2.2.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7.2.2.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.2.2.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 7.2.2.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7.2.3

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Setze ${(x - 4)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 7.2.3.2

Löse ${(x - 4)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.2.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 7.2.3.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, 4$

Schritt 7.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = 0, x = 4$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 2$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 2$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{16 (3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 16)}{{(2)}^{3} {((2) - 4)}^{3}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{16 (3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{16 (12 - 12 \cdot 2 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$\frac{16 (12 - 24 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Schritt 10.1.4

Subtrahiere $24$ von $12$ .

$\frac{16 (- 12 + 16)}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Schritt 10.1.5

Addiere $- 12$ und $16$ .

$\frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(2 - 4)}^{3}}$

Schritt 10.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$\frac{16 \cdot 4}{2^{3} {(- 2)}^{3}}$

Schritt 10.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{16 \cdot 4}{8 {(- 2)}^{3}}$

Schritt 10.2.3

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{16 \cdot 4}{8 \cdot - 8}$

Schritt 10.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $16$ mit $4$ .

$\frac{64}{8 \cdot - 8}$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 8$ .

$\frac{64}{- 64}$

Schritt 10.3.3

Dividiere $64$ durch $- 64$ .

$- 1$

Schritt 11

$x = 2$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 2$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{8}{{(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und ${(2)}^{2} - 4 \cdot 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2^{2} - 4 \cdot 2}$

Schritt 12.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2 - 4 \cdot 2}$

Schritt 12.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \cdot 2$ heraus.

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2)}$

Schritt 12.2.1.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2 + 2 (- 2 \cdot 2)$ heraus.

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot (2 - 2 \cdot 2)}$

Schritt 12.2.1.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2) = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot (2 - 2 \cdot 2)}$

Schritt 12.2.1.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (2) = \frac{4}{2 - 2 \cdot 2}$

Schritt 12.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2 - 2 \cdot 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (2) = \frac{2 (2)}{2 - 2 \cdot 2}$

Schritt 12.2.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1 - 2 \cdot 2}$

Schritt 12.2.1.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cdot 2$ heraus.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1 + 2 (- 1 \cdot 2)}$

Schritt 12.2.1.2.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1 - 1 \cdot 2)}$

Schritt 12.2.1.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1 - 1 \cdot 2)}$

Schritt 12.2.1.2.2.5

Forme den Ausdruck um.

$f (2) = \frac{2}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 12.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (2) = \frac{2}{1 - 2}$

Schritt 12.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f (2) = \frac{2}{- 1}$

Schritt 12.2.3

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$f (2) = - 2$

Schritt 12.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2$ .

$y = - 2$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{8}{x^{2} - 4 x}$ .

$(2, - 2)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14