Analysis Beispiele

$4 x - \frac{4000}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $4 x - \frac{4000}{x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = 4 x - \frac{4000}{x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - \frac{4000}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 4000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4000}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 4000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 - 4000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$4 - 4000 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$4 - 4000 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$4 - 4000 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$4 - 4000 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 - 4000 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4000 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$4 - 4000 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 - 4000 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 2.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 - 4000 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 2.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 - 4000 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 2.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$4 - 4000 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 2.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4000$ .

$4 + 8000 x^{- 3}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 + 8000 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $8000$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 + \frac{8000}{x^{3}}$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{8000}{x^{3}} + 4$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{8000}{x^{3}} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{8000}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{8000}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{8000}{x^{3}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $8000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{8000}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $8000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 8000 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = 8000 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = 8000 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = 8000 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$f'' (x) = 8000 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = 8000 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 8000 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 8000 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 8000 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8000 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 8000 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$f'' (x) = 8000 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $8000$ .

$f'' (x) = - 24000 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - 24000 x^{- 4} + 0$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 24000 \frac{1}{x^{4}} + 0$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $- 24000$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 24000}{x^{4}} + 0$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{24000}{x^{4}} + 0$

Schritt 3.4.2.3

Addiere $- \frac{24000}{x^{4}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{24000}{x^{4}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{8000}{x^{3}} + 4 = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - \frac{4000}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 5.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Schritt 5.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4000}{x^{2}}]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $- 4000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4000}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 4000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 - 4000 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 5.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$4 - 4000 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 5.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 5.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$4 - 4000 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$4 - 4000 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$4 - 4000 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 5.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 - 4000 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 5.1.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 5.1.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 - 4000 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 5.1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$4 - 4000 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 5.1.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 - 4000 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 5.1.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$4 - 4000 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 5.1.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 - 4000 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 5.1.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$4 - 4000 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 5.1.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4000$ .

$4 + 8000 x^{- 3}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 + 8000 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 5.1.4.2

Kombiniere $8000$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$4 + \frac{8000}{x^{3}}$

Schritt 5.1.4.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{8000}{x^{3}} + 4$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{8000}{x^{3}} + 4$ .

$\frac{8000}{x^{3}} + 4$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{8000}{x^{3}} + 4 = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{8000}{x^{3}} + 4 = 0$

Schritt 6.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{8000}{x^{3}} = - 4$

Schritt 6.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{3}, 1$

Schritt 6.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{3}$

Schritt 6.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{8000}{x^{3}} = - 4$ mit $x^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{8000}{x^{3}} = - 4$ mit $x^{3}$ .

$\frac{8000}{x^{3}} x^{3} = - 4 x^{3}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8000}{x^{3}} x^{3} = - 4 x^{3}$

Schritt 6.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$8000 = - 4 x^{3}$

Schritt 6.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 x^{3} = 8000$ um.

$- 4 x^{3} = 8000$

Schritt 6.5.2

Subtrahiere $8000$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x^{3} - 8000 = 0$

Schritt 6.5.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x^{3} - 8000$ heraus.

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Schritt 6.5.3.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$- 4 x^{3} - 8000 = 0$

Schritt 6.5.3.2

Faktorisiere $- 4$ aus $- 8000$ heraus.

$- 4 x^{3} - 4 \cdot 2000 = 0$

Schritt 6.5.3.3

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 (x^{3}) - 4 (2000)$ heraus.

$- 4 (x^{3} + 2000) = 0$

Schritt 6.5.4

Teile jeden Ausdruck in $- 4 (x^{3} + 2000) = 0$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 (x^{3} + 2000) = 0$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 (x^{3} + 2000)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Schritt 6.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 6.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 (x^{3} + 2000)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Schritt 6.5.4.2.1.2

Dividiere $x^{3} + 2000$ durch $1$ .

$x^{3} + 2000 = \frac{0}{- 4}$

Schritt 6.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.4.3.1

Dividiere $0$ durch $- 4$ .

$x^{3} + 2000 = 0$

Schritt 6.5.5

Subtrahiere $2000$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} = - 2000$

Schritt 6.5.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{- 2000}$

Schritt 6.5.7

Vereinfache $\sqrt[3]{- 2000}$ .

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Schritt 6.5.7.1

Schreibe $- 2000$ als ${(- 10)}^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.5.7.1.1

Faktorisiere $- 1000$ aus $- 2000$ heraus.

$x = \sqrt[3]{- 1000 (2)}$

Schritt 6.5.7.1.2

Schreibe $- 1000$ als ${(- 10)}^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{{(- 10)}^{3} \cdot 2}$

Schritt 6.5.7.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = - 10 \sqrt[3]{2}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{8000}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 10 \sqrt[3]{2}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 10 \sqrt[3]{2}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{24000}{{(- 10 \sqrt[3]{2})}^{4}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.1.1

Wende die Produktregel auf $- 10 \sqrt[3]{2}$ an.

$- \frac{24000}{{(- 10)}^{4} {\sqrt[3]{2}}^{4}}$

Schritt 10.1.2

Potenziere $- 10$ mit $4$ .

$- \frac{24000}{10000 {\sqrt[3]{2}}^{4}}$

Schritt 10.1.3

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{4}$ als $\sqrt[3]{2^{4}}$ um.

$- \frac{24000}{10000 \sqrt[3]{2^{4}}}$

Schritt 10.1.4

Potenziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{24000}{10000 \sqrt[3]{16}}$

Schritt 10.1.5

Schreibe $16$ als $2^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 10.1.5.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$- \frac{24000}{10000 \sqrt[3]{8 (2)}}$

Schritt 10.1.5.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$- \frac{24000}{10000 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}$

Schritt 10.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{24000}{10000 \cdot 2 \sqrt[3]{2}}$

Schritt 10.1.7

Mutltipliziere $10000$ mit $2$ .

$- \frac{24000}{20000 \sqrt[3]{2}}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $24000$ und $20000$ .

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $4000$ aus $24000$ heraus.

$- \frac{4000 (6)}{20000 \sqrt[3]{2}}$

Schritt 10.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.1

Faktorisiere $4000$ aus $20000 \sqrt[3]{2}$ heraus.

$- \frac{4000 (6)}{4000 (5 \sqrt[3]{2})}$

Schritt 10.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4000 \cdot 6}{4000 (5 \sqrt[3]{2})}$

Schritt 10.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{6}{5 \sqrt[3]{2}}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $\frac{6}{5 \sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$- (\frac{6}{5 \sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Schritt 10.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.4.1

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.4.1.1

Mutltipliziere $\frac{6}{5 \sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 \sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 10.4.1.2

Bewege $\sqrt[3]{2}$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 (\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2})}$

Schritt 10.4.1.3

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 ({\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2})}$

Schritt 10.4.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 {\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Schritt 10.4.1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 {\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Schritt 10.4.1.6

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 10.4.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 10.4.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 10.4.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 \cdot 2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 10.4.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.4.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 \cdot 2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 10.4.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 \cdot 2^{1}}$

Schritt 10.4.1.6.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{6 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5 \cdot 2}$

Schritt 10.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 10.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 {\sqrt[3]{2}}^{2}$ heraus.

$- \frac{2 (3 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{5 \cdot 2}$

Schritt 10.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $5 \cdot 2$ heraus.

$- \frac{2 (3 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{2 \cdot 5}$

Schritt 10.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (3 {\sqrt[3]{2}}^{2})}{2 \cdot 5}$

Schritt 10.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 {\sqrt[3]{2}}^{2}}{5}$

Schritt 10.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$- \frac{3 \sqrt[3]{2^{2}}}{5}$

Schritt 10.5.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{3 \sqrt[3]{4}}{5}$

Schritt 11

$x = - 10 \sqrt[3]{2}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 10 \sqrt[3]{2}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 10 \sqrt[3]{2}$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 10 \sqrt[3]{2}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = 4 (- 10 \sqrt[3]{2}) - \frac{4000}{{(- 10 \sqrt[3]{2})}^{2}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.2.1.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $4$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4000}{{(- 10 \sqrt[3]{2})}^{2}}$

Schritt 12.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 10 \sqrt[3]{2}$ an.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4000}{{(- 10)}^{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 12.2.1.2.2

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4000}{100 {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 12.2.1.2.3

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4000}{100 \sqrt[3]{2^{2}}}$

Schritt 12.2.1.2.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4000}{100 \sqrt[3]{4}}$

Schritt 12.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4000$ und $100$ .

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Schritt 12.2.1.3.1

Faktorisiere $100$ aus $4000$ heraus.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{100 \cdot 40}{100 \sqrt[3]{4}}$

Schritt 12.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.1.3.2.1

Faktorisiere $100$ aus $100 \sqrt[3]{4}$ heraus.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{100 \cdot 40}{100 (\sqrt[3]{4})}$

Schritt 12.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{100 \cdot 40}{100 \sqrt[3]{4}}$

Schritt 12.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40}{\sqrt[3]{4}}$

Schritt 12.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{40}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (\frac{40}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Schritt 12.2.1.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{40}{\sqrt[3]{4}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 12.2.1.5.2

Potenziere $\sqrt[3]{4}$ mit $1$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Schritt 12.2.1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Schritt 12.2.1.5.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Schritt 12.2.1.5.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ als $4$ um.

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Schritt 12.2.1.5.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4}$ als $4^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 12.2.1.5.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 12.2.1.5.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 12.2.1.5.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.1.5.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 12.2.1.5.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Schritt 12.2.1.5.5.5

Berechne den Exponenten.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{40 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Schritt 12.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $40$ und $4$ .

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Schritt 12.2.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $40 {\sqrt[3]{4}}^{2}$ heraus.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4 (10 {\sqrt[3]{4}}^{2})}{4}$

Schritt 12.2.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.1.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4 (10 {\sqrt[3]{4}}^{2})}{4 (1)}$

Schritt 12.2.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{4 (10 {\sqrt[3]{4}}^{2})}{4 \cdot 1}$

Schritt 12.2.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - \frac{10 {\sqrt[3]{4}}^{2}}{1}$

Schritt 12.2.1.6.2.4

Dividiere $10 {\sqrt[3]{4}}^{2}$ durch $1$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (10 {\sqrt[3]{4}}^{2})$

Schritt 12.2.1.7

Schreibe ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ als $\sqrt[3]{4^{2}}$ um.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (10 \sqrt[3]{4^{2}})$

Schritt 12.2.1.8

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (10 \sqrt[3]{16})$

Schritt 12.2.1.9

Schreibe $16$ als $2^{3} \cdot 2$ um.

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Schritt 12.2.1.9.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (10 \sqrt[3]{8 (2)})$

Schritt 12.2.1.9.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (10 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2})$

Schritt 12.2.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (10 (2 \sqrt[3]{2}))$

Schritt 12.2.1.11

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - (20 \sqrt[3]{2})$

Schritt 12.2.1.12

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 40 \sqrt[3]{2} - 20 \sqrt[3]{2}$

Schritt 12.2.2

Subtrahiere $20 \sqrt[3]{2}$ von $- 40 \sqrt[3]{2}$ .

$f (- 10 \sqrt[3]{2}) = - 60 \sqrt[3]{2}$

Schritt 12.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 60 \sqrt[3]{2}$ .

$y = - 60 \sqrt[3]{2}$

Schritt 13

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 4 x - \frac{4000}{x^{2}}$ .

$(- 10 \sqrt[3]{2}, - 60 \sqrt[3]{2})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 14