Analysis Beispiele

$y = \frac{x}{8 x + 3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 8 x + 3$ .

$\frac{(8 x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [8 x + 3]}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [8 x + 3]}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Schritt 3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 + \frac{d}{d x} [3])}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x (8 + 0)}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Addiere $8$ und $0$ .

$\frac{(8 x + 3) \cdot 1 - x \cdot 8}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x \cdot 1 + 3 \cdot 1 - x \cdot 8}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 x \cdot 1 + 3 \cdot 1 - x \cdot 8$ .

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Schritt 5.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $8 x \cdot 1$ und $- x \cdot 8$ neu an.

$\frac{1 \cdot 8 x + 3 \cdot 1 - 1 \cdot 8 x}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $8 x$ von $1 \cdot 8 x$ .

$\frac{3 \cdot 1 + 0}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.1.3

Addiere $3 \cdot 1$ und $0$ .

$\frac{3 \cdot 1}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3}{{(8 x + 3)}^{2}}$