Analysis Beispiele

$- \frac{12 y^{\frac{3}{2}}}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1

Diese Ableitung konnte mithilfe der Quotientenregel nicht vervollständigt werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Da $- 12 y^{\frac{3}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{12 y^{\frac{3}{2}}}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}}$ als ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$- 12 y^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 y^{\frac{3}{2}} (- {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 12 x y^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]))$

Schritt 4.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]))$

Schritt 4.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}]$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [12 x y^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 4.5

Da $12 y^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x y^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $12 y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (12 y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Bringe $12$ auf die linke Seite von ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

$12 y^{\frac{3}{2}} (12 \cdot {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $12$ mit $12$ .

$144 y^{\frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$144 y^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$144 y^{\frac{1 + 3}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.2

Addiere $1$ und $3$ .

$144 y^{\frac{4}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$144 y^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$144 y^{\frac{2}{1}} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.3.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$144 y^{2} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$144 y^{2} ({(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \cdot 1)$

Schritt 8

Mutltipliziere ${(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ mit $1$ .

$144 y^{2} {(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$144 y^{2} \frac{1}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereine die Terme

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $144$ und $\frac{1}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$y^{2} \frac{144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 144}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.2.3

Bringe $144$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\frac{144 y^{2}}{{(1 + 12 x y^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$\frac{144 y^{2}}{{(12 y^{\frac{1}{2}} x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.4

Stelle die Faktoren in $\frac{144 y^{2}}{{(12 y^{\frac{1}{2}} x + 1)}^{2}}$ um.

$\frac{144 y^{2}}{{(12 x y^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$