Analysis Beispiele

$\frac{x}{{(7 x - 9)}^{9}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(7 x - 9)}^{9}$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 9)}^{9}]}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 9)}^{9}]}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{9}$ und $g (x) = 7 x - 9$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $7 x - 9$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [7 x - 9])}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 9$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 u^{8} \frac{d}{d x} [7 x - 9])}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $7 x - 9$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} \frac{d}{d x} [7 x - 9])}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Schritt 4.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} (7 + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Schritt 4.5

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} (7 + 0))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Addiere $7$ und $0$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (9 {(7 x - 9)}^{8} \cdot 7)}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $7$ mit $9$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (63 {(7 x - 9)}^{8})}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere ${(7 x - 9)}^{8}$ aus ${(7 x - 9)}^{9} \cdot 1 - x (63 {(7 x - 9)}^{8})$ heraus.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere ${(7 x - 9)}^{8}$ aus ${(7 x - 9)}^{9} \cdot 1$ heraus.

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} ((7 x - 9) \cdot 1) - x (63 {(7 x - 9)}^{8})}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Schritt 5.1.1.2

Faktorisiere ${(7 x - 9)}^{8}$ aus $- x (63 {(7 x - 9)}^{8})$ heraus.

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} ((7 x - 9) \cdot 1) + {(7 x - 9)}^{8} (- x \cdot (63))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Schritt 5.1.1.3

Faktorisiere ${(7 x - 9)}^{8}$ aus ${(7 x - 9)}^{8} ((7 x - 9) \cdot 1) + {(7 x - 9)}^{8} (- x \cdot (63))$ heraus.

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} ((7 x - 9) \cdot 1 - x \cdot (63))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $7 x - 9$ mit $1$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (7 x - 9 - x \cdot (63))}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $63$ mit $- 1$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (7 x - 9 - 63 x)}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $63 x$ von $7 x$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (- 56 x - 9)}{{({(7 x - 9)}^{9})}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(7 x - 9)}^{9})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (- 56 x - 9)}{{(7 x - 9)}^{9 \cdot 2}}$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (- 56 x - 9)}{{(7 x - 9)}^{18}}$

Schritt 5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1

Faktorisiere ${(7 x - 9)}^{8}$ aus ${(7 x - 9)}^{18}$ heraus.

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (- 56 x - 9)}{{(7 x - 9)}^{8} {(7 x - 9)}^{10}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(7 x - 9)}^{8} (- 56 x - 9)}{{(7 x - 9)}^{8} {(7 x - 9)}^{10}}$

Schritt 5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 56 x - 9}{{(7 x - 9)}^{10}}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 56 x$ heraus.

$\frac{- (56 x) - 9}{{(7 x - 9)}^{10}}$

Schritt 5.4

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$\frac{- (56 x) - 1 (9)}{{(7 x - 9)}^{10}}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (56 x) - 1 (9)$ heraus.

$\frac{- (56 x + 9)}{{(7 x - 9)}^{10}}$

Schritt 5.6

Schreibe $- (56 x + 9)$ als $- 1 (56 x + 9)$ um.

$\frac{- 1 (56 x + 9)}{{(7 x - 9)}^{10}}$

Schritt 5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{56 x + 9}{{(7 x - 9)}^{10}}$