Analysis Beispiele

$- \frac{5 y}{5 x + 2 y}$

Schritt 1

Diese Ableitung konnte mithilfe der Quotientenregel nicht vervollständigt werden. Mathway wird eine andere Methode benutzen.

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Da $- 5 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5 y}{5 x + 2 y}$ nach $x$ gleich $- 5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2 y}]$ .

$- 5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2 y}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{5 x + 2 y}$ als ${(5 x + 2 y)}^{- 1}$ um.

$- 5 y \frac{d}{d x} [{(5 x + 2 y)}^{- 1}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 5 x + 2 y$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x + 2 y$ .

$- 5 y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 5 y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x + 2 y$ .

$- 5 y (- {(5 x + 2 y)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2 y])$

Schritt 4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Schritt 4.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 + \frac{d}{d x} [2 y]))$

Schritt 4.6

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} (5 + 0))$

Schritt 4.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.7.1

Addiere $5$ und $0$ .

$5 y ({(5 x + 2 y)}^{- 2} \cdot 5)$

Schritt 4.7.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(5 x + 2 y)}^{- 2}$ .

$5 y (5 \cdot {(5 x + 2 y)}^{- 2})$

Schritt 4.7.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$25 y {(5 x + 2 y)}^{- 2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$25 y \frac{1}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $25$ und $\frac{1}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$ .

$y \frac{25}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $y$ und $\frac{25}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$ .

$\frac{y \cdot 25}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$

Schritt 5.2.3

Bringe $25$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{25 y}{{(5 x + 2 y)}^{2}}$