Analysis Beispiele

$\frac{3 x e^{x^{2}} + 8}{y}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = 3 x e^{x^{2}} + 8$ und $g (y) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d y} [3 x e^{x^{2}} + 8] - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d y} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x e^{x^{2}} + 8$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{y (\frac{d}{d y} [3 x e^{x^{2}}] + \frac{d}{d y} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d y} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.2

Da $3 x e^{x^{2}}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x e^{x^{2}}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{y (0 + \frac{d}{d y} [8]) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d y} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.3

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{y (0 + 0) - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d y} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.4

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{y \cdot 0 - (3 x e^{x^{2}} + 8) \frac{d}{d y} [y]}{y^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y \cdot 0 - (3 x e^{x^{2}} + 8) \cdot 1}{y^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y \cdot 0 + (- (3 x e^{x^{2}}) - 1 \cdot 8) \cdot 1}{y^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y \cdot 0 - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 1 - 1 \cdot 8 \cdot 1}{y^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $0$ .

$\frac{0 - (3 x e^{x^{2}}) \cdot 1 - 1 \cdot 8 \cdot 1}{y^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{0 - 3 (x e^{x^{2}}) \cdot 1 - 1 \cdot 8 \cdot 1}{y^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{0 - 3 x e^{x^{2}} - 1 \cdot 8 \cdot 1}{y^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Multipliziere $- 1 \cdot 8 \cdot 1$ .

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Schritt 3.3.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{0 - 3 x e^{x^{2}} - 8 \cdot 1}{y^{2}}$

Schritt 3.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$\frac{0 - 3 x e^{x^{2}} - 8}{y^{2}}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $3 x e^{x^{2}}$ von $0$ .

$\frac{- 3 x e^{x^{2}} - 8}{y^{2}}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 e^{x^{2}} x - 8}{y^{2}}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 e^{x^{2}} x$ heraus.

$\frac{- (3 e^{x^{2}} x) - 8}{y^{2}}$

Schritt 3.6

Schreibe $- 8$ als $- 1 (8)$ um.

$\frac{- (3 e^{x^{2}} x) - 1 (8)}{y^{2}}$

Schritt 3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 e^{x^{2}} x) - 1 (8)$ heraus.

$\frac{- (3 e^{x^{2}} x + 8)}{y^{2}}$

Schritt 3.8

Schreibe $- (3 e^{x^{2}} x + 8)$ als $- 1 (3 e^{x^{2}} x + 8)$ um.

$\frac{- 1 (3 e^{x^{2}} x + 8)}{y^{2}}$

Schritt 3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 e^{x^{2}} x + 8}{y^{2}}$

Schritt 3.10

Stelle die Faktoren in $- \frac{3 e^{x^{2}} x + 8}{y^{2}}$ um.

$- \frac{3 x e^{x^{2}} + 8}{y^{2}}$